Movimiento circular y gravitación

Objetivos de aprendizaje

• Describir el movimiento circular uniforme en términos de su rapidez, período y frecuencia.
• Aplicar la Segunda Ley de Newton al movimiento circular uniforme mediante la aceleración centrípeta.
• Aplicar la ley de gravitación universal al cálculo de fuerzas gravitacionales, el peso y la variación de g con la altura.

En las semanas anteriores las leyes de Newton nos permitieron analizar el movimiento a lo largo de una línea recta (MRU y MRUA) y el movimiento parabólico, el caso bidimensional más importante; en todos ellos las fuerzas del catálogo —peso, normal, tensión, fricción— eran de contacto o actuaban cerca de la superficie terrestre. En esta semana vamos más allá. Primero, estudiamos el movimiento circular uniforme: el movimiento sobre una trayectoria curva con rapidez constante, presente desde los mecanismos rotatorios de la maquinaria industrial hasta los satélites artificiales; veremos que exige una fuerza neta dirigida hacia el centro del círculo, y esa observación dejará una pregunta en el aire: ¿quién ejerce esa fuerza en la escala cósmica? La respuesta: ley de gravitación universal establece la fuerza que mantiene a los planetas en órbita y que explica el peso de los cuerpos.

Movimiento circular uniforme (MCU)

El Movimiento Circular Uniforme (MCU) es un tipo de movimiento en el que un objeto describe una trayectoria circular con rapidez constante. Aunque la magnitud de la velocidad no cambia, la dirección del movimiento sí lo hace constantemente, lo que implica la existencia de una aceleración centrípeta dirigida siempre hacia el centro del círculo. En la semana 5 aprendimos que una velocidad puede cambiar en magnitud, en dirección o en ambas; el movimiento parabólico cambiaba las dos a la vez. El MCU aísla el segundo caso y nos deja la lección más contraintuitiva de esta semana: acelerar no significa ir más rápido.

La aceleración centrípeta es la responsable de este cambio de dirección. Se trata de una aceleración que:

• siempre apunta hacia el centro del círculo;
• no cambia la rapidez del objeto, solo la dirección de su velocidad;
• es esencial para mantener al objeto en movimiento circular.

Si denotamos por $v$ la rapidez constante del movimiento y por $R$ el radio de la trayectoria circular, la magnitud de la aceleración centrípeta, denotada $a_{\text{rad}}$, está dada por:

$$a_{\text{rad}} = \frac{v^2}{R}$$

Aquí reaparece el método de la semana anterior: DCL y Segunda Ley de Newton, con una sola novedad — la fuerza neta no apunta a lo largo del movimiento, sino hacia el centro. El MCU es el resultado de cualquier combinación de fuerzas que produzca una fuerza neta $\sum \vec{F}$ de magnitud constante y dirigida siempre hacia el centro del círculo; por lo tanto, al aplicar la Segunda Ley de Newton a un MCU, tenemos que:

$$\sum \vec{F} = m \vec{a}_{\text{rad}}, \qquad \left|\sum \vec{F}\right| = m\frac{v^2}{R}$$

En el contexto del MCU, el período se define como el tiempo que tarda un objeto en dar una vuelta completa alrededor de la trayectoria circular. Se representa con la letra $T$ y su unidad en el Sistema Internacional es el segundo (s). El período puede determinarse a partir de los parámetros del MCU:

$$T = \frac{2\pi R}{v}$$

de manera que la aceleración centrípeta puede escribirse también como:

$$a_{\text{rad}} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$$

Al inverso del período se le llama frecuencia:

$$f = \frac{1}{T}$$

y representa el número de revoluciones que completa el móvil por unidad de tiempo. Si el período se expresa en segundos, la frecuencia tiene unidades de $\mathrm{s}^{-1}$, lo cual recibe el nombre de hertz (Hz):

$$1\,\mathrm{s}^{-1} = 1\,\mathrm{Hz}$$

Ejemplo — un punto del borde de un CD

Un CD gira a $200\,\mathrm{rpm}$ (revoluciones por minuto) y tiene un radio de $R = 6{,}0\,\mathrm{cm}$. La frecuencia y el período son:

$$f = \frac{200}{60\,\mathrm{s}} \approx 3{,}33\,\mathrm{Hz}, \qquad T = \frac{1}{f} = 0{,}30\,\mathrm{s}$$

La rapidez de un punto del borde es:

$$v = 2\pi R f = 2\pi (0{,}060\,\mathrm{m})(3{,}33\,\mathrm{Hz}) \approx 1{,}26\,\mathrm{m/s}$$

y su aceleración centrípeta vale:

$$a_{\text{rad}} = \frac{v^2}{R} = \frac{(1{,}26\,\mathrm{m/s})^2}{0{,}060\,\mathrm{m}} \approx 26\,\mathrm{m/s^2}$$

Es decir, un punto del borde del CD lleva una aceleración de unas $2{,}7$ veces $g$, únicamente para cambiar de dirección: su rapidez es constante.

Pon a prueba tu conocimiento

1. En un MCU, la aceleración centrípeta es responsable de __________.

   1. aumentar la rapidez del objeto

   2. disminuir la rapidez del objeto

   3. cambiar la dirección de la velocidad

   4. mantener constante la dirección de la velocidad

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2. Si la rapidez de una partícula en MCU se duplica sin cambiar el radio de la trayectoria, la aceleración centrípeta __________.

   1. se reduce a la mitad

   2. se cuadruplica

   3. no cambia

   4. se duplica

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3. Un móvil completa una vuelta cada $4{,}0\,\mathrm{s}$. Su frecuencia es __________.

   1. $4{,}0\,\mathrm{Hz}$

   2. $2{,}0\,\mathrm{Hz}$

   3. $0{,}50\,\mathrm{Hz}$

   4. $0{,}25\,\mathrm{Hz}$

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4. La fuerza neta sobre una partícula que se mueve con MCU __________.

   1. es tangente a la trayectoria

   2. apunta hacia afuera del círculo

   3. es cero, porque la rapidez es constante

   4. tiene magnitud constante y apunta hacia el centro del círculo

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Ley de gravitación universal

Volviendo a la dinámica, el MCU dejó una pregunta pendiente: si la Luna gira alrededor de la Tierra con rapidez casi constante, la Segunda Ley exige una fuerza neta centrípeta, y en la escala astronómica no hay cuerdas, pisos ni superficies de contacto que la proporcionen. ¿Quién ejerce esa fuerza? La respuesta es la gravitación, la interacción que en la semana 6 reconocimos como la primera gran unificación de la física: Newton mostró que la fuerza que hace caer una manzana es la misma que mantiene la Luna en órbita.

La ley de gravitación universal de Newton establece la relación que caracteriza la interacción entre dos masas ($m_1$ y $m_2$) separadas cierta distancia ($r$). Esta interacción es una fuerza atractiva: las masas se atraen mutuamente a lo largo de la línea que las une. La magnitud de la fuerza gravitacional que ejerce $m_1$ sobre $m_2$ está dada por:

$$F_{\text{g}} = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$$

donde $G$ es una constante de proporcionalidad llamada constante de gravitación universal. El término universal hace referencia a que se considera constante en todo el universo. En el S.I.:

$$G = 6{,}67\times 10^{-11}\,\frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2}$$

Las fuerzas gravitacionales siempre actúan a lo largo de la línea que une las dos partículas y forman un par acción-reacción: la fuerza que $m_1$ ejerce sobre $m_2$ tiene la misma magnitud que la que $m_2$ ejerce sobre $m_1$, con sentido opuesto. La fuerza gravitacional permite explicar tanto el movimiento de los planetas alrededor del Sol como el de los satélites naturales y artificiales alrededor de los planetas.

Gravitación y cuerpos esféricamente simétricos

La interacción gravitacional entre dos cuerpos con distribuciones de masa esféricamente simétricas (ya sean sólidas o huecas) es la misma que si toda la masa estuviera concentrada en el centro de cada cuerpo. Si modelamos la Tierra como un cuerpo esféricamente simétrico de masa $m_{\text{T}}$, la fuerza que ejerce sobre una partícula (o sobre otro cuerpo esféricamente simétrico) de masa $m$, a una distancia $r$ entre los centros, es:

$$F_{\text{g}} = \frac{G m_{\text{T}} m}{r^2}$$

siempre y cuando el cuerpo se encuentre en el exterior de la Tierra.

Peso y gravedad

Considere un objeto de masa $m$ en la superficie terrestre, a una distancia $R_{\text{T}}$ del centro del planeta:

$$F_{\text{g}} = \frac{G m_{\text{T}} m}{R_{\text{T}}^2} = mg \quad \Rightarrow \quad g = \frac{G m_{\text{T}}}{R_{\text{T}}^2} = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$$

donde $m_{\text{T}} = 5{,}98\times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ es la masa del planeta Tierra y $R_{\text{T}} = 6380\,\mathrm{km}$ es su radio. Conforme el objeto se aleja de la superficie terrestre, su peso irá disminuyendo; de forma tal que, a una altura $h$ sobre la superficie:

$$g(h) = \frac{G m_{\text{T}}}{(R_{\text{T}} + h)^2}.$$

Ejemplo — la atracción entre la Tierra y la Luna

La Luna tiene una masa de $m_{\text{L}} = 7{,}35\times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ y su centro está a una distancia de $r = 3{,}84\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ del centro de la Tierra. La fuerza gravitacional entre ambos cuerpos tiene por magnitud:

$$F_{\text{g}} = \frac{G m_{\text{T}} m_{\text{L}}}{r^2} = \frac{(6{,}67\times 10^{-11})(5{,}98\times 10^{24}\,\mathrm{kg})(7{,}35\times 10^{22}\,\mathrm{kg})}{(3{,}84\times 10^{8}\,\mathrm{m})^2}$$$$F_{\text{g}} \approx 2{,}0\times 10^{20}\,\mathrm{N}$$

Es esta fuerza la que mantiene a la Luna en su órbita casi circular alrededor de la Tierra: la fuerza neta que produce su movimiento circular uniforme es, precisamente, la fuerza gravitacional. La aceleración que esta fuerza le produce a la Luna es $a = F_{\text{g}}/m_{\text{L}} \approx 2{,}7\times 10^{-3}\,\mathrm{m/s^2}$: unas $3600$ veces menor que $g$ en la superficie. No es casualidad: la Luna orbita a unas $60$ veces el radio terrestre del centro del planeta, y $60^2 = 3600$, exactamente lo que predice la ley del inverso del cuadrado y la expresión $g(h)$ de la sección anterior. La Luna es, en rigor, un cuerpo en caída libre que nunca alcanza a llegar al suelo.

Pon a prueba tu conocimiento

1. Si se duplica la distancia entre dos masas puntuales, la fuerza gravitacional entre ellas __________.

   1. no cambia

   2. se duplica

   3. se reduce a la mitad

   4. se reduce a la cuarta parte

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2. La fuerza que la Tierra ejerce sobre la Luna y la que la Luna ejerce sobre la Tierra __________.

   1. tienen distinta magnitud porque la Tierra es más masiva

   2. tienen la misma magnitud y sentidos opuestos

   3. tienen la misma magnitud y el mismo sentido

   4. actúan sobre el mismo cuerpo

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3. Conforme un objeto se aleja de la superficie terrestre, el valor de $g$ __________.

   1. aumenta

   2. disminuye

   3. cambia de signo

   4. permanece constante

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4. El valor de la masa de la Tierra puede despejarse de la expresión $g = \dfrac{G m_{\text{T}}}{R_{\text{T}}^2}$ como __________.

   1. $m_{\text{T}} = \dfrac{g R_{\text{T}}}{G}$

   2. $m_{\text{T}} = g R_{\text{T}}^2\, G$

   3. $m_{\text{T}} = \dfrac{g R_{\text{T}}^2}{G}$

   4. $m_{\text{T}} = \dfrac{G R_{\text{T}}^2}{g}$

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Resumen de la semana

Cantidad	Expresión	Observaciones
Aceleración centrípeta	$a_{\text{rad}} = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{4\pi^2 R}{T^2}$	apunta al centro; no cambia la rapidez
Fuerza neta en el MCU	$\left\|\sum \vec{F}\right\| = m\dfrac{v^2}{R}$	Segunda Ley de Newton
Período	$T = \dfrac{2\pi R}{v}$	tiempo de una vuelta (s)
Frecuencia	$f = \dfrac{1}{T}$	vueltas por segundo (Hz)
Gravitación universal	$F_{\text{g}} = \dfrac{G m_1 m_2}{r^2}$	atractiva, a lo largo de la línea que une las masas
Gravedad en la superficie	$g = \dfrac{G m_{\text{T}}}{R_{\text{T}}^2} = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$	peso $P = mg$
Gravedad a una altura $h$	$g(h) = \dfrac{G m_{\text{T}}}{(R_{\text{T}} + h)^2}$	disminuye con la altura

La idea clave de esta semana es que un movimiento con rapidez constante puede tener aceleración: en el MCU la fuerza neta no cambia la rapidez, sino que únicamente desvía la velocidad hacia el centro de la trayectoria y la fuerza que en la gran escala de la naturaleza cumple el papel de centrípeta es la gravitación universal, la misma fuerza que hace que una manzana caiga y que la Luna, en caída libre permanente, no se escape. En la práctica de la semana aplicaremos estas ideas a ruedas de la fortuna, curvas en carretera y satélites en órbita.