Movimiento parabólico

Objetivos de aprendizaje

• Describir un movimiento general en 2 ó 3 dimensiones, mediante cantidades cinemáticas vectoriales.
• Definir las características del movimiento parabólico.
• Resolver, analítica y gráficamente, problemas que involucren movimiento parabólico.

En las semanas anteriores estudiamos el movimiento a lo largo de una línea recta: el MRU y el MRUA, y la caída libre como caso particular. Pero el mundo real no se mueve solo en líneas rectas: la pelota que lanzas hacia el aro, el balón de un tiro libre y el agua que sale de una manguera describen curvas. En esta semana estudiaremos el caso más importante de movimiento en dos dimensiones: el movimiento parabólico.

El vector aceleración

En la semana 3 definimos formalmente la aceleración como la tasa de cambio de la velocidad:

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$$

Como la velocidad es una cantidad vectorial, es muy conveniente analizar la aceleración en términos de las direcciones tangente y normal a la trayectoria. Considera una partícula que se mueve en una trayectoria curva con velocidad $\vec{v}$ y aceleración $\vec{a}$. La aceleración se puede descomponer en dos componentes:

• La componente paralela a la trayectoria (a lo largo de la tangente), que denotamos $a_{||}$, llamada componente tangencial.
• La componente perpendicular a la trayectoria (a lo largo de la normal), que denotamos $a_{\perp}$, llamada componente normal.

Esta descomposición es clave para comprender el movimiento en dos dimensiones:

• La componente tangencial $a_{||}$ puede aumentar o disminuir la rapidez (cambiar la magnitud de la velocidad), sin necesariamente cambiar su dirección.
• La componente normal $a_{\perp}$ puede cambiar la dirección de la velocidad, sin cambiar su magnitud.

Ejemplo — un carro que toma una curva

Imagina que un carro entra a una curva. Al girar el volante, aparece una componente de aceleración perpendicular a la trayectoria (la componente normal) que desvía la velocidad hacia el interior de la curva: la dirección del movimiento cambia.

Si además el carro está acelerando o frenando dentro de la curva, hay una componente tangencial que aumenta o disminuye su rapidez. Si el carro toma la curva a velocidad constante, la componente tangencial es cero y solo existe la componente normal: la rapidez no cambia, pero la dirección de la velocidad sí.

Pon a prueba tu conocimiento

1. La componente normal de la aceleración es responsable de __________.

   1. cambiar la magnitud de la velocidad

   2. cambiar la dirección de la velocidad

   3. aumentar la rapidez del objeto

   4. disminuir la rapidez del objeto

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2. Un carro toma una curva a rapidez constante. En ese momento __________.

   1. tiene aceleración (normal) aunque su rapidez no cambie

   2. no tiene aceleración porque la rapidez es constante

   3. Solo tiene aceleración tangencial

   4. su aceleración es cero siempre

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Movimiento de proyectiles

El movimiento de proyectiles es un caso particular de movimiento bidimensional en el cual un objeto es lanzado con una velocidad inicial y se mueve bajo la influencia exclusiva de la aceleración gravitacional. Este tipo de movimiento es fundamental en la física y tiene aplicaciones en diversas áreas, desde la ingeniería balística hasta el análisis de trayectorias deportivas y la exploración espacial.

El estudio del movimiento de proyectiles se basa en la descomposición del movimiento en dos componentes independientes:

• Movimiento horizontal ($x$): se asume que la velocidad en esta dirección es constante, ya que no hay fuerzas actuando en ausencia de resistencia del aire. El movimiento horizontal es, entonces, un MRU.
• Movimiento vertical ($y$): está influenciado por la aceleración gravitacional $g$, lo que produce una variación en la velocidad en esta dirección. El movimiento vertical es, entonces, un MRUA (la caída libre que estudiamos la semana pasada).

La independencia de los movimientos horizontal y vertical es la idea central de esta semana: aunque ocurren simultáneamente, se pueden analizar por separado. El tiempo es la única variable que los conecta.

Dado que ambos movimientos ocurren simultáneamente pero son independientes, podemos analizar cada uno por separado utilizando las ecuaciones de cinemática:

$$x(t) = x_0 + v_{0x} t, \qquad v_{0x} = v_0 \cos \alpha_0$$ $$y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2, \qquad v_{0y} = v_0 \sin \alpha_0$$ $$v_y(t) = v_{0y} - g t$$

donde:

• $(x_0, y_0)$ define el punto de lanzamiento,
• $v_0$ representa la rapidez del lanzamiento,
• $\alpha_0$ su elevación (el ángulo con la horizontal).

La trayectoria parabólica

El movimiento de proyectiles también recibe el nombre de movimiento parabólico, ya que si se observa la trayectoria de un proyectil, esta traza una parábola. La trayectoria queda descrita por los parámetros del lanzamiento, $v_0$ y $\alpha_0$, mediante la ecuación:

$$y(x)=y_0+(\tan\alpha_0)x -\frac{g}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha_0}x^2$$

Esta ecuación surge de eliminar el tiempo entre las ecuaciones de posición: expresa directamente la altura $y$ en función de la distancia horizontal $x$.

Altura máxima y alcance

El movimiento de proyectiles suele caracterizarse por sus alcances máximos, tanto horizontal como vertical. Se define altura máxima del proyectil, $H$, como la distancia máxima vertical que alcanza el proyectil respecto al nivel del lanzamiento:

$$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha_0}{2g}$$

y alcance máximo horizontal (o simplemente alcance), $R$, como la distancia máxima que recorre un proyectil horizontalmente hasta alcanzar de nuevo el nivel del lanzamiento:

$$R = \frac{v_0^2 \sin (2\alpha_0)}{g}$$

Ejemplo — un tiro libre

En un tiro libre, se le imprime a un balón una velocidad inicial de:

$$\vec{v}_0 = (20 \, \mathrm{m/s};\, 35^\circ)$$

Las componentes de la velocidad inicial son:

$$v_{0x} = v_0 \cos \alpha_0 = (20 \, \mathrm{m/s}) \cos 35^\circ \approx 16,38 \, \mathrm{m/s}$$$$v_{0y} = v_0 \sin \alpha_0 = (20 \, \mathrm{m/s}) \sin 35^\circ \approx 11,47 \, \mathrm{m/s}$$

La distancia horizontal que recorre el balón (su alcance) es:

$$R = \frac{v_0^2 \sin (2\alpha_0)}{g} = \frac{(20 \, \mathrm{m/s})^2 \sin (70^\circ)}{9,81 \, \mathrm{m/s^2}} \approx 38,32 \, \mathrm{m}$$

La altura máxima que alcanza es:

$$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha_0}{2g} = \frac{(20 \, \mathrm{m/s})^2 \sin^2 35^\circ}{2 (9,81 \, \mathrm{m/s^2})} \approx 6,71 \, \mathrm{m}$$

El balón recorre entonces unos $38,32 \, \mathrm{m}$ horizontalmente y se eleva hasta $6,71 \, \mathrm{m}$ sobre el punto de lanzamiento.

Pon a prueba tu conocimiento

1. En el movimiento de proyectiles (sin resistencia del aire), la componente horizontal de la velocidad __________.

   1. aumenta con el tiempo

   2. disminuye con el tiempo

   3. ss cero en el punto más alto

   4. es constante durante todo el vuelo

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2. La componente vertical de la velocidad de un proyectil __________.

   1. solo existe en el lanzamiento

   2. es constante durante todo el vuelo

   3. es igual a la componente horizontal

   4. cambia de forma uniforme por la aceleración gravitacional

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3. En el punto más alto de la trayectoria parabólica __________.

   1. la velocidad es horizontal y la aceleración es completamente normal

   2. la velocidad es vertical y la aceleración es completamente tangencial

   3. la componente normal de la aceleración es cero

   4. la velocidad es cero y la aceleración es cero

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4. La altura máxima de un proyectil lanzado con rapidez $v_0$ y elevación $\alpha_0$ es __________.

   1. $\dfrac{v_0^2}{2g}$

   2. $\dfrac{v_0^2 \sin^2 \alpha_0}{2g}$

   3. $\dfrac{v_0^2 \sin (2\alpha_0)}{g}$

   4. $\dfrac{v_0^2 \cos \alpha_0}{2g}$

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5. El alcance horizontal máximo de un proyectil se obtiene cuando la elevación es __________.

   1. $30^\circ$

   2. $60^\circ$

   3. $45^\circ$

   4. $90^\circ$

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Resumen de la semana

Cantidad	Expresión	Movimiento asociado
Componente horizontal de la velocidad	$v_{0x} = v_0 \cos \alpha_0$, constante	MRU
Componente vertical de la velocidad	$v_{0y} = v_0 \sin \alpha_0$	MRUA (caída libre)
Posición horizontal	$x(t) = x_0 + v_{0x} t$	MRU
Posición vertical	$y(t) = y_0 + v_{0y} t - \tfrac{1}{2} g t^2$	MRUA
Velocidad vertical	$v_y(t) = v_{0y} - g t$	MRUA
Altura máxima	$H = \dfrac{v_0^2 \sin^2 \alpha_0}{2g}$	—
Alcance horizontal	$R = \dfrac{v_0^2 \sin (2\alpha_0)}{g}$	—

La idea clave de esta semana es la independencia de los movimientos horizontal y vertical: el proyectil se mueve horizontalmente con velocidad constante, mientras que verticalmente cae con aceleración constante. Al descomponer el lanzamiento en sus componentes $v_{0x}$ y $v_{0y}$, reutilizas las herramientas de las semanas anteriores (MRU y caída libre) para resolver problemas de dos dimensiones. En la práctica de la semana pondremos esto a prueba con situaciones cotidianas: tiros libres, mangueras y pelotas lanzadas con ángulo.