Práctica

Es tu primera semana en el TEC. Google Maps te indica que debes caminar $500 \, \mathrm{m}$ en dirección $37^\circ$ NE desde la parada de bus hasta llegar al laboratorio de Física. ¿Cuánto te desplazas hacia el este y cuánto hacia el norte?

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La dirección ” $37^\circ$ NE” significa: partiendo del Norte, girar $37^\circ$ hacia el Este. En ángulo polar (medido desde el eje $x$ positivo) esto equivale a $90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$ .

Usamos las fórmulas de conversión de polar a cartesiano:

d_x = d \cos \theta = 500 \cos(53^\circ) \approx 500 \times 0{,}60 = 300 \, \mathrm{m}

d_y = d \sin \theta = 500 \sin(53^\circ) \approx 500 \times 0{,}80 = 400 \, \mathrm{m}

Te desplazas aproximadamente $300 \, \mathrm{m}$ al este y $400 \, \mathrm{m}$ al norte. Puedes verificar que $\sqrt{300^2 + 400^2} = 500 \, \mathrm{m}$ , como debe ser (¡es un triángulo 3-4-5!).

Pediste comida por una app de delivery con dron. El sistema muestra que el dron está a $90 \, \mathrm{m}$ al este y $120 \, \mathrm{m}$ al sur de tu ubicación. ¿A qué distancia y en qué dirección cardinal se encuentra el dron respecto a ti?

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Tenemos las componentes cartesianas: $d_x = 90 \, \mathrm{m}$ , $d_y = -120 \, \mathrm{m}$ .

Magnitud (distancia):

d = \displaystyle \sqrt{d_x^2 + d_y^2} = \sqrt{90^2 + (-120)^2} = \sqrt{8\,100 + 14\,400} = \sqrt{22\,500} = 150 \, \mathrm{m}

Dirección:

Como $d_x > 0$ y $d_y < 0$ , el vector está en el cuarto cuadrante (sureste). El ángulo respecto al sur es:

\alpha = \arctan\left(\frac{90}{120}\right) = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}9^\circ

El dron está a $150 \, \mathrm{m}$ en dirección $36{,}9^\circ$ SE (es decir, $36{,}9^\circ$ desde el Sur hacia el Este).

(De nuevo un triángulo 3-4-5: las distancias 90, 120 y 150 están en proporción 3:4:5.)

En un festival al aire libre, tú estás parado en la posición $\vec{r}_A = (20 \hat{\iota} + 40 \hat{\jmath}) \, \mathrm{m}$ desde el escenario principal. Tu grupo de amigos está en $\vec{r}_B = (50 \hat{\iota}) \, \mathrm{m}$ (justo frente al escenario, junto a la valla). ¿Qué desplazamiento en magnitud y dirección debes realizar para reunirte con ellos?

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El desplazamiento desde tu posición hasta la de tus amigos es la resta de vectores de posición:

\Delta \vec{r} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (50 - 20) \hat{\iota} + (0 - 40) \hat{\jmath} = (30 \hat{\iota} - 40 \hat{\jmath}) \, \mathrm{m}

Magnitud:

|\Delta \vec{r}| = \sqrt{30^2 + (-40)^2} = \sqrt{900 + 1\,600} = \sqrt{2\,500} = 50 \, \mathrm{m}

Dirección:

El vector tiene $\Delta x > 0$ e $\Delta y < 0$ : cuarto cuadrante (sureste).

\alpha = \arctan\left(\frac{40}{30}\right) \approx 53{,}1^\circ

Debes caminar $50 \, \mathrm{m}$ en dirección $53{,}1^\circ$ SE (desde el Sur, $53{,}1^\circ$ hacia el Este).

Tú y tu compañero de cuarto van de compras. Tú empujas el carrito con una fuerza de $24 \, \mathrm{N}$ hacia el norte, mientras tu compañero lo empuja con $32 \, \mathrm{N}$ hacia el este. El carrito cargado tiene una masa de $12 \, \mathrm{kg}$ .

¿Cuál es la fuerza resultante sobre el carrito (magnitud y dirección)?
¿Cuál es la aceleración del carrito?

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a) Fuerza resultante:

Sumamos las fuerzas por componentes (Este $= +x$ , Norte $= +y$ ):

\vec{F}_R = 32 \hat{\iota} + 24 \hat{\jmath} \, \mathrm{N}

Magnitud:

|\vec{F}_R| = \sqrt{32^2 + 24^2} = \sqrt{1\,024 + 576} = \sqrt{1\,600} = 40 \, \mathrm{N}

Dirección (está en el primer cuadrante, se referencia desde el Norte):

\alpha = \arctan\left(\frac{32}{24}\right) \approx 53{,}1^\circ

La fuerza resultante es de $40 \, \mathrm{N}$ en dirección $53{,}1^\circ$ NE (desde el Norte hacia el Este).

b) Aceleración:

Por la segunda ley de Newton, $\vec{a} = \frac{1}{m}\vec{F}_R$ , que es multiplicar el vector por el escalar $1/m$ :

|\vec{a}| = \frac{|\vec{F}_R|}{m} = \frac{40 \, \mathrm{N}}{12 \, \mathrm{kg}} \approx 3{,}33 \, \mathrm{m/s^2}

La aceleración tiene la misma dirección que la fuerza resultante: $3{,}33 \, \mathrm{m/s^2}$ a $53{,}1^\circ$ NE.

Para no cansarte el brazo, llevas tu maleta de mano con una correa que forma un ángulo de $60^\circ$ con el piso. Tiras con una fuerza constante de $40 \, \mathrm{N}$ mientras caminas $150 \, \mathrm{m}$ por el pasillo hacia la sala de abordaje.

¿Cuánto trabajo realizas sobre la maleta?
¿Qué componente de la fuerza es la que realmente “hace el trabajo” de mover la maleta hacia adelante?

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a) Trabajo:

El trabajo es el producto punto entre la fuerza y el desplazamiento:

W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \, s \, \cos \theta = (40 \, \mathrm{N})(150 \, \mathrm{m}) \cos(60^\circ)

W = 6\,000 \times 0{,}5 = 3\,000 \, \mathrm{J}

El trabajo realizado es de $3\,000 \, \mathrm{J}$ .

b) Componente eficaz:

La fuerza se puede descomponer en dos partes:

Paralela al piso (la que mueve la maleta): $F_{\parallel} = F \cos(60^\circ) = 40 \times 0{,}5 = 20 \, \mathrm{N}$
Vertical (la que levanta el asa, no mueve la maleta hacia adelante): $F_{\perp} = F \sin(60^\circ) = 40 \times 0{,}866 = 34{,}6 \, \mathrm{N}$

Solo la componente paralela contribuye al trabajo:

W = F_{\parallel} \times s = 20 \times 150 = 3\,000 \, \mathrm{J}

La componente vertical “gasta” fuerza en levantar el asa, pero no produce desplazamiento horizontal, así que no realiza trabajo. Por eso conviene tirar lo más paralelo posible al piso para aprovechar toda tu fuerza.

Estás midiendo tu cuarto nuevo para acomodar los muebles. Un borde de la pared va del origen al punto $(6, \, 8) \, \mathrm{m}$ , y el otro borde va del origen al punto $(-4, \, 3) \, \mathrm{m}$ . Quieres colocar un escritorio en forma de L justo en la esquina, así que necesitas confirmar que las paredes son perpendiculares. Verifícalo usando el producto punto.

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Representamos cada borde como un vector desde el origen:

\vec{A} = (6\, \mathrm{m}) \hat{\iota} + (8\, \mathrm{m}) \hat{\jmath} \qquad \vec{B} = (-4\, \mathrm{m}) \hat{\iota} + (3\, \mathrm{m}) \hat{\jmath}

Calculamos el producto punto:

\vec{A} \cdot \vec{B} = (6)(-4) + (8)(3) = -24 + 24 = 0

Como el producto punto es cero, las paredes son perpendiculares. El escritorio en L encajará perfectamente.

Durante una jornada de orientación, un grupo de estudiantes nuevos realiza el siguiente recorrido desde la entrada principal del campus:

Caminan $200 \, \mathrm{m}$ al norte hasta el centro de estudiantes.
Luego $150 \, \mathrm{m}$ al este hasta la biblioteca.
Finalmente $100 \, \mathrm{m}$ al sur hasta el comedor.

¿A qué distancia y en qué dirección (cardinal) se encuentra el comedor respecto a la entrada principal?

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Expresamos cada tramo en componentes cartesianas (Este $= +x$ , Norte $= +y$ ):

Tramo 1: $200 \, \mathrm{m}$ al norte → $\vec{d}_1 = 200 \hat{\jmath} \, \mathrm{m}$

Tramo 2: $150 \, \mathrm{m}$ al este → $\vec{d}_2 = 150 \hat{\iota} \, \mathrm{m}$

Tramo 3: $100 \, \mathrm{m}$ al sur → $\vec{d}_3 = -100 \hat{\jmath} \, \mathrm{m}$

Desplazamiento total (suma vectorial):

\vec{d}_{\text{total}} = (0 + 150 + 0) \hat{\iota} + (200 + 0 - 100) \hat{\jmath} = 150 \hat{\iota} + 100 \hat{\jmath} \, \mathrm{m}

Magnitud:

|\vec{d}_{\text{total}}| = \sqrt{150^2 + 100^2} = \sqrt{22\,500 + 10\,000} = \sqrt{32\,500} \approx 180 \, \mathrm{m}

Dirección (primer cuadrante, se referencia desde el Norte):

\alpha = \arctan\left(\frac{150}{100}\right) \approx 56{,}3^\circ

El comedor está a aproximadamente $180 \, \mathrm{m}$ en dirección $56{,}3^\circ$ NE (desde el Norte hacia el Este). Aunque el grupo de estudiantes caminaron un total de $450 \, \mathrm{m}$ , en línea recta solo se alejaron $180 \, \mathrm{m}$ de la entrada.

Estás ayudando a un amigo a mudarse. Para abrir la puerta corrediza del camión, la empujas perpendicularmente con una fuerza de $20 \, \mathrm{N}$ , agarrándola a $0{,}90 \, \mathrm{m}$ de las bisagras.

¿Cuánto torque produces sobre la puerta?
Si tu amigo, que es más bajo, solo puede agarrar la puerta a $0{,}30 \, \mathrm{m}$ de las bisagras, ¿qué fuerza debe aplicar para generar el mismo torque?

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a) Torque:

Como la fuerza es perpendicular a la puerta, el ángulo entre $\vec{r}$ y $\vec{F}$ es $\theta = 90^\circ$ , y $\sin(90^\circ) = 1$ :

\tau = r F \sin \theta = (0{,}90 \, \mathrm{m})(20 \, \mathrm{N})(1) = 18 \, \mathrm{N \cdot m}

El torque que produces es de $18 \, \mathrm{N \cdot m}$ .

b) Fuerza de tu amigo:

Para producir el mismo torque $\tau = 18 \, \mathrm{N \cdot m}$ a una distancia menor, tu amigo necesita más fuerza:

F = \frac{\tau}{r} = \frac{18 \, \mathrm{N \cdot m}}{0{,}30 \, \mathrm{m}} = 60 \, \mathrm{N}

Tu amigo necesita aplicar $60 \, \mathrm{N}$ : el triple de fuerza. Esto explica por qué las manijas de las puertas siempre están en el extremo opuesto a las bisagras: cuanto mayor es el brazo de palanca ( $r_{\perp}$ ), menos esfuerzo cuesta abrirlas.