Práctica

Un autobús de la ruta interna del campus viaja en dirección $+x$ por una recta nivelada. En los primeros $4,00 \, \mathrm{s}$ de su movimiento, su velocidad media es $v_{\text{med},x} = 6,25 \, \mathrm{m/s}$ . ¿Qué distancia recorre el autobús en esos $4,00 \, \mathrm{s}$ ?

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La velocidad media se define como el desplazamiento entre el tiempo:

v_{\text{med},x} = \frac{\Delta x}{\Delta t}

Despejamos el desplazamiento (que en este caso coincide con la distancia, pues el movimiento es rectilíneo y sin cambios de sentido):

\Delta x = v_{\text{med},x} \cdot \Delta t = (6,25 \, \mathrm{m/s})(4,00 \, \mathrm{s}) = 25,0 \, \mathrm{m}

El autobús recorre $25,0 \, \mathrm{m}$ en los primeros $4,00 \, \mathrm{s}$ .

Partiendo de un poste del campus, corres $200 \, \mathrm{m}$ hacia el este (en la dirección $+x$ ) con una rapidez media de $5,0 \, \mathrm{m/s}$ , y luego $280 \, \mathrm{m}$ hacia el oeste con una rapidez media de $4,0 \, \mathrm{m/s}$ , hasta llegar a otro poste. Calcula:

Tu rapidez media de un poste al otro.
Tu velocidad media de un poste al otro.

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Tiempo de cada tramo:

t_1 = \frac{200 \, \mathrm{m}}{5,0 \, \mathrm{m/s}} = 40 \, \mathrm{s} \qquad t_2 = \frac{280 \, \mathrm{m}}{4,0 \, \mathrm{m/s}} = 70 \, \mathrm{s}

Tiempo total: $t_{\text{total}} = 40 + 70 = 110 \, \mathrm{s}$

1. Rapidez media:

La rapidez media usa la distancia total recorrida:

\text{rapidez media} = \frac{\text{distancia total}}{\text{tiempo total}} = \frac{200 + 280}{110} = \frac{480}{110} \approx 4,36 \, \mathrm{m/s}

2. Velocidad media:

La velocidad media usa el desplazamiento neto. Tomando el este como positivo:

\Delta x = x_{\text{final}} - x_{\text{inicial}} = 200 \, \mathrm{m} - 280 \, \mathrm{m} = -80 \, \mathrm{m}

v_{\text{med},x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{-80 \, \mathrm{m}}{110 \, \mathrm{s}} \approx -0,73 \, \mathrm{m/s}

El signo negativo indica que la velocidad media apunta hacia el oeste.

Tu rapidez media fue $4,36 \, \mathrm{m/s}$ , pero tu velocidad media fue solo $0,73 \, \mathrm{m/s}$ hacia el oeste. ¡La diferencia entre rapidez y velocidad se nota cuando caminas de un lado a otro!

Considera el movimiento de un objeto descrito por la siguiente gráfica de velocidad en función del tiempo.

Determina, para los primeros $5 \text{ s}$ del movimiento:

la aceleración,
el desplazamiento,
la velocidad media.

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1. aceleración

La aceleración está dada por la pendiente de la recta. Tomemos los puntos $(0, 3)$ y $(5, -2)$ , de manera que

a_x=\displaystyle \frac{\Delta v_x}{\Delta t}=\frac{(-2-3)\text{ m/s}}{(5-0) \text{ s}}=-1\,\text{m/s}^2

2. desplazamiento

El desplazamiento podemos determinarlo a partir del área bajo la curva. En este caso, podemos dividir el cálculo del área tomando el “triángulo superior” que se forma por encima del eje del tiempo como área positiva y el “triángulo inferior”, negativa.

\Delta x=A_1-A_2=\displaystyle \frac{(3\text{ s})\cdot(3\text{ m/s})}{2}-\frac{(2\text{ s})\cdot(2\text{ m/s})}{2}=2,5\text{ m}

3. velocidad media

La velocidad media usa el desplazamiento neto:

v_{\text{med},x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{-2,5 \, \mathrm{m}}{5 \, \mathrm{s}} = +0,5 \, \mathrm{m/s}

Un automóvil de pruebas controlado por computadora se usa para estudiar la cinemática de choques a baja velocidad. La posición del parachoques frontal está dada por:

x(t) = 2,17 \, \mathrm{m} + (4,80 \, \mathrm{m/s^2}) t^2 - (0,100 \, \mathrm{m/s^6}) t^6

Determina la posición en los instantes $t=0,1\text{ s}$ y $t=0,2\text{ s}$ .
Determina el desplazamiento entre los instantes $t=0,1\text{ s}$ y $t=0,2\text{ s}$ .
Determina la velocidad media entre los instantes $t=0,1\text{ s}$ y $t=0,2\text{ s}$ .

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1. Posición en $t = 0,1 \, \mathrm{s}$ y $t = 0,2 \, \mathrm{s}$

Evaluamos la función posición en cada instante (el término $-0,100\,t^6$ es despreciable en esta escala de tiempo):

x(0,1) = 2,17 + 4,80(0,1)^2 - 0,100(0,1)^6 \approx 2,17 + 0,048 = 2,218 \, \mathrm{m}

x(0,2) = 2,17 + 4,80(0,2)^2 - 0,100(0,2)^6 \approx 2,17 + 0,192 = 2,362 \, \mathrm{m}

En $t = 0,1 \, \mathrm{s}$ el parachoques está en $2,218 \, \mathrm{m}$ y en $t = 0,2 \, \mathrm{s}$ en $2,362 \, \mathrm{m}$ : ambos valores razonables para un choque a baja velocidad, en el que el parachoques apenas se deforma unas decenas de centímetros.

2. Desplazamiento entre $t = 0,1 \, \mathrm{s}$ y $t = 0,2 \, \mathrm{s}$

\Delta x = x(0,2) - x(0,1) = 2,362 - 2,218 = 0,144 \, \mathrm{m}

3. Velocidad media entre $t = 0,1 \, \mathrm{s}$ y $t = 0,2 \, \mathrm{s}$

v_{\text{med},x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0,144 \, \mathrm{m}}{0,2 \, \mathrm{s} - 0,1 \, \mathrm{s}} = \frac{0,144 \, \mathrm{m}}{0,1 \, \mathrm{s}} = 1,44 \, \mathrm{m/s}

Unos $5,2 \, \mathrm{km/h}$ , consistente con un choque a baja velocidad.

Una gráfica de velocidad en función del tiempo para un bus del campus muestra el siguiente comportamiento, con la velocidad en $\mathrm{m/s}$ y el tiempo en segundos:

De $t = 0$ a $t = 2,0 \, \mathrm{s}$ : la velocidad sube de $0$ a $8,0 \, \mathrm{m/s}$ en línea recta.
De $t = 2,0 \, \mathrm{s}$ a $t = 6,0 \, \mathrm{s}$ : la velocidad se mantiene constante en $8,0 \, \mathrm{m/s}$ .
De $t = 6,0 \, \mathrm{s}$ a $t = 8,0 \, \mathrm{s}$ : la velocidad baja de $8,0 \, \mathrm{m/s}$ a $0$ en línea recta.

Determina:

El desplazamiento total del bus en los $8,0 \, \mathrm{s}$ .
La aceleración en cada tramo.
Esboza cualitativamente las gráficas de posición $x$ vs $t$ , velocidad $v$ vs $t$ y aceleración $a$ vs $t$ .

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1. Desplazamiento = área bajo la curva

Dividimos la gráfica en tres figuras geométricas:

Tramo 1 ( $0 \to 2 \, \mathrm{s}$ ): triángulo de base $2 \, \mathrm{s}$ y altura $8 \, \mathrm{m/s}$ .

\Delta x_1 = \frac{1}{2}(2,0)(8,0) = 8,0 \, \mathrm{m}

Tramo 2 ( $2 \to 6 \, \mathrm{s}$ ): rectángulo de base $4 \, \mathrm{s}$ y altura $8 \, \mathrm{m/s}$ .

\Delta x_2 = (4,0)(8,0) = 32,0 \, \mathrm{m}

Tramo 3 ( $6 \to 8 \, \mathrm{s}$ ): triángulo de base $2 \, \mathrm{s}$ y altura $8 \, \mathrm{m/s}$ .

\Delta x_3 = \frac{1}{2}(2,0)(8,0) = 8,0 \, \mathrm{m}

Desplazamiento total:

\Delta x = 8,0 + 32,0 + 8,0 = 48,0 \, \mathrm{m}

2. Aceleración en cada tramo:

La aceleración es la pendiente de la gráfica $v$ vs $t$ .

Tramo 1:

a_1 = \frac{8,0 - 0}{2,0 - 0} = 4,0 \, \mathrm{m/s^2}

Tramo 2: velocidad constante, pendiente cero:

a_2 = 0

Tramo 3:

a_3 = \frac{0 - 8,0}{8,0 - 6,0} = \frac{-8,0}{2,0} = -4,0 \, \mathrm{m/s^2}

3. Visualización con herramientas computacionales

En lugar de dibujar a mano, puedes construir las tres gráficas con una calculadora gráfica como Desmos o GeoGebra. El truco es escribir las funciones por tramos, por ejemplo, la velocidad como una función por tramos:

v(t) = \begin{cases} 4,0 \, t & 0 \le t \le 2,0 \\ 8,0 & 2,0 < t \le 6,0 \\ 32,0 - 4,0 \, t & 6,0 < t \le 8,0 \end{cases}

En GeoGebra (notación Si(condición, valor1, valor2) anidada):

v(t) = Si(0 <= t <= 2, 4t, Si(2 < t <= 6, 8, 32 - 4t))
x(t) = Si(0 <= t <= 2, 2t^2, Si(2 < t <= 6, 8t - 8, 32t - 2t^2 - 80))
a(t) = Si(0 <= t <= 2, 4, Si(2 < t <= 6, 0, -4))

Usa las herramientas para verificar tus respuestas: el área bajo $v(t)$ entre $0$ y $8 \, \mathrm{s}$ (comando Integral(v, 0, 8) en GeoGebra) debe dar $48,0 \, \mathrm{m}$ , la pendiente de $v(t)$ en cada tramo debe coincidir con las aceleraciones del inciso 2, y la pendiente de $x(t)$ en cada instante debe reproducir $v(t)$ .