Unidades, cantidades físicas y vectores

Objetivos de aprendizaje

• Expresar cantidades físicas usando distintos sistemas de unidades.
• Determinar las diferencias entre cantidades físicas escalares y vectoriales.
• Realizar suma y resta de vectores.

El objeto de estudio de la Física es tan ambicioso como fascinante: busca comprender las leyes fundamentales que rigen la materia, la energía, el espacio y el tiempo, y cómo interactúan entre sí. Para abordar sistemas que en la práctica son altamente complejos, esta disciplina recurre al arte de modelar. Un modelo físico es una construcción teórica, frecuentemente matemática, que simplifica la realidad sin perder su esencia, permitiéndonos analizar y predecir el comportamiento de la naturaleza.

Para ilustrar esto, consideremos el lanzamiento de una bola. En la realidad, su movimiento está determinado por una gran cantidad de variables: su masa, su forma exacta, la dirección del viento, la fuerza inicial de lanzamiento o la resistencia del aire. Si intentáramos calcularlo todo a la vez, el problema sería inmanejable. Es aquí donde entra nuestro modelo físico inicial: tomaríamos la decisión estratégica de ignorar temporalmente factores como el viento o la fricción, y trataríamos la bola como si fuera un punto sin tamaño. No lo hacemos por ignorancia, sino para aislar el efecto principal (en este caso, la gravedad) y comprender la esencia de su trayectoria antes de añadir capas de complejidad.

A cada una de estas propiedades medibles que caracterizan a un sistema o a un modelo —la masa, la velocidad, la fuerza, entre otras— se las conoce como cantidades físicas. Constituyen la base sobre la cual se construye cualquier análisis. No obstante, una cantidad física requiere de una referencia para ser útil, y ahí es donde entran las unidades de medida. En esta sesión comenzaremos a estudiar estas cantidades y sus unidades, los elementos fundamentales sin los cuales la Física, tal como la conocemos, no sería posible.

Cantidades físicas y unidades

En términos prácticos, una cantidad física es un atributo de la realidad que podemos medir. Todo acto de medición implica una comparación. Cuando decimos que algo mide “3 metros”, estamos comparando su longitud con un estándar de referencia o patrón previamente acordado. Ese patrón es lo que define una unidad.

Para que la ciencia sea universal y los modelos sean replicables en cualquier lugar del mundo, no podemos inventar unidades al azar. Necesitamos un marco coherente donde todas las unidades estén interconectadas lógicamente. Ese marco es el Sistema Internacional de Unidades (SI). La Tabla 1.1 muestra las cantidades físicas fundamentales del SI.

Tabla 1.1. Cantidades físicas fundamentales del Sistema Internacional (SI).

Magnitud fundamental	Símbolo de la magnitud	Unidad de medida (SI)	Símbolo de la unidad
Longitud	$l, x, r$	metro	m
Masa	$m$	kilogramo	kg
Tiempo	$t$	segundo	s
Corriente eléctrica	$I, i$	amperio	A
Temperatura termodinámica	$T$	kelvin	K
Cantidad de sustancia	$n$	mol	mol
Intensidad luminosa	$I_v$	candela	cd

Sin embargo, la realidad que intentamos modelar es mucho más rica que esas siete magnitudes básicas. Para describir fenómenos como la velocidad de un objeto o la presión de un gas, debemos combinar las cantidades fundamentales mediante relaciones matemáticas. El resultado de estas combinaciones son las cantidades físicas derivadas, cuya lista de ejemplos más representativos se presenta en la Tabla 1.2.

Tabla 1.2. Ejemplos de cantidades físicas derivadas y sus unidades en el SI.

Magnitud derivada	Símbolo de la magnitud	Unidad de medida (SI)	Símbolo de la unidad
Área	$A$	metro cuadrado	$\mathrm{m}^2$
Volumen	$V$	metro cúbico	$\mathrm{m}^3$
Velocidad	$v$	metro por segundo	$\mathrm{m}/\mathrm{s}$
Aceleración	$a$	metro por segundo al cuadrado	$\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$
Fuerza	$F$	newton	$\mathrm{N}$
Presión	$p$	pascal	$\mathrm{Pa}$
Energía o Trabajo	$E$, $W$	julio	$\mathrm{J}$

La realidad que intentamos modelar escala de manera asombrosa: desde la minúscula distancia entre dos átomos hasta la inmensidad de una galaxia. Estas cantidades varían en múltiples órdenes de magnitud respecto a nuestras unidades fundamentales. Por ello, es indispensable dominar el uso de prefijos y de notación científica, los cuales nos permiten escribir de forma compacta tanto los múltiplos como las fracciones de cualquier unidad. La Tabla 1.3 lista los principales prefijos utilizados en el SI

Tabla 1.3. Prefijos usados en el SI.

Factor	Nombre	Símbolo	Factor	Nombre	Símbolo
$10^{-1}$	deci	$\mathrm{d}$	$10^{1}$	deca	$\mathrm{da}$
$10^{-2}$	centi	$\mathrm{c}$	$10^{2}$	hecto	$\mathrm{h}$
$10^{-3}$	mili	$\mathrm{m}$	$10^{3}$	kilo	$\mathrm{k}$
$10^{-6}$	micro	$\mathrm{\mu}$	$10^{6}$	mega	$\mathrm{M}$
$10^{-9}$	nano	$\mathrm{n}$	$10^{9}$	giga	$\mathrm{G}$
$10^{-12}$	pico	$\mathrm{p}$	$10^{12}$	tera	$\mathrm{T}$
$10^{-15}$	femto	$\mathrm{f}$	$10^{15}$	peta	$\mathrm{P}$
$10^{-18}$	atto	$\mathrm{a}$	$10^{18}$	exa	$\mathrm{E}$
$10^{-21}$	zepto	$\mathrm{z}$	$10^{21}$	zetta	$\mathrm{Z}$
$10^{-24}$	yocto	$\mathrm{y}$	$10^{24}$	yotta	$\mathrm{Y}$
$10^{-27}$	ronto	$\mathrm{r}$	$10^{27}$	ronna	$\mathrm{R}$
$10^{-30}$	quecto	$\mathrm{q}$	$10^{30}$	quetta	$\mathrm{Q}$

Pon a prueba tu conocimiento

Elije la opción que completa correctamente cada una de las frases.

1. El ____________ es una unidad fundamental del Sistema Internacional (SI).

   1. pie (ft)

   2. gramo (g)

   3. newton (N)

   4. kilogramo (kg)

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2. El ____________ es una unidad derivada del Sistema Internacional (SI).

   1. pie (ft)

   2. gramo (g)

   3. newton (N)

   4. kilogramo (kg)

   Enviar

3. Para cambiar de un sistema de unidades a otro, necesitamos un ____________ construido a partir de una equivalencia, que al ser igual a la unidad permite multiplicar cualquier cantidad sin cambiar su valor real, solo su expresión.

   1. modelo físico

   2. factor de conversión

   3. porcentaje de cambio

   4. coeficiente de proporcionalidad

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Por supuesto, el SI no es el único sistema de unidades disponible. Al cambiar de sistema, necesitamos un factor de conversión. Matemáticamente, un factor de conversión es una fracción construida a partir de una equivalencia. Su gran ventaja es que, al ser igual a la unidad, nos permite multiplicar cualquier cantidad sin cambiar su valor real, solo su expresión.

Tabla 1.4. Factores de conversión comunes en Física y en la vida cotidiana.

(Para convertir de la unidad A a la unidad B, multiplique el valor por el factor de conversión indicado).

Magnitud	Unidad A	Unidad B	Factor de conversión
LONGITUD
Longitud	pulgadas $( \mathrm{in} )$	centímetros $( \mathrm{cm} )$	$2,54$
Longitud	pies $( \mathrm{ft} )$	metros $( \mathrm{m} )$	$0,3048$
Longitud	millas $( \mathrm{mi} )$	kilómetros $( \mathrm{km} )$	$1,609$
MASA
Masa	libras $( \mathrm{lb} )$	kilogramos $( \mathrm{kg} )$	$0,4536$
Masa	onzas $( \mathrm{oz} )$	gramos $( \mathrm{g} )$	$28,35$
VOLUMEN
Volumen	galones $( \mathrm{gal} )$	litros $( \mathrm{L} )$	$3,785$
Volumen	metros cúbicos $( \mathrm{m}^3 )$	litros $( \mathrm{L} )$	$1\,000$
Volumen	tazas $( \mathrm{cup} )$	mililitros $( \mathrm{mL} )$	$240$
Volumen	cucharadas $( \mathrm{tbsp} )$	mililitros $( \mathrm{mL} )$	$15$
Volumen	onzas fluidas $( \mathrm{fl\,oz} )$	mililitros $( \mathrm{mL} )$	$29,57$
FUERZA Y PRESIÓN
Fuerza	libras-fuerza $( \mathrm{lbf} )$	Newtons $( \mathrm{N} )$	$4,448$
Presión	atmósferas $( \mathrm{atm} )$	Pascales $( \mathrm{Pa} )$	$101\,325$
Presión	libras/pulg² $( \mathrm{psi} )$	Pascales $( \mathrm{Pa} )$	$6\,894,76$
ENERGÍA
Energía	calorías $( \mathrm{cal} )$	Joules $( \mathrm{J} )$	4,184
Energía	kilowatt-hora $( \mathrm{kWh} )$	Joules $( \mathrm{J} )$	$3,6 \times 10^6$

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Ejemplo - conversiones de unidades

Supongamos que queremos expresar una distancia de $150 \, \mathrm{km}$ en metros $(\mathrm{m})$. Sabemos que $\displaystyle 1 \, \mathrm{km} = 1000 \, \mathrm{m}$. Construimos dos factores de conversión posibles:

$$\frac{1000 \, \mathrm{m}}{1 \, \mathrm{km}} \quad \mathrm{y} \quad \frac{1 \, \mathrm{km}}{1000 \, \mathrm{m}}$$

Debemos elegir la fracción que permita cancelar la unidad inicial $(\mathrm{km})$:

$$150 \,\cancel{\mathrm{km}} \times \left( \displaystyle \frac{1000 \, \mathrm{m}}{1 \, \cancel{\mathrm{km}}} \right) = 150 \, 000 \, \mathrm{m} = 1,5 \times 10^{5} \,\mathrm{m}$$

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Ahora supongamos que queremos convertir $2 \, \mathrm{m}$ a pulgadas $(\mathrm{in})$. De la Tabla 1.4, sabemos que $1 \, \mathrm{in} = 2,54 \, \mathrm{cm}$. Construimos los factores de conversión necesarios:

$$\frac{1 \, \mathrm{in}}{2,54 \, \mathrm{cm}} \quad \mathrm{y} \quad \frac{2,54 \, \mathrm{cm}}{1 \, \mathrm{in}}$$

También necesitamos convertir de metros a centímetros: $1 \, \mathrm{m} = 100 \, \mathrm{cm}$:

$$\displaystyle \frac{100 \, \mathrm{cm}}{1 \, \mathrm{m}} \quad \mathrm{y} \quad \frac{1 \, \mathrm{m}}{100 \, \mathrm{cm}}$$

Combinamos los factores apropiados para cancelar las unidades:

$$2 \,\cancel{\mathrm{m}} \times \left( \frac{100 \,\cancel{\mathrm{cm}}}{1 \,\cancel{\mathrm{m}}} \right) \times \left( \frac{1 \, \mathrm{in}}{2,54 \,\cancel{\mathrm{cm}}} \right) = \frac{200}{2,54} \, \mathrm{in} \approx 78,7 \, \mathrm{in}$$

Escalares y vectores

Hasta ahora, hemos visto que las cantidades físicas tienen magnitud y unidades. Sin embargo, para que nuestros modelos describan la realidad con precisión, necesitamos hacer una distinción crucial: algunas cantidades solo necesitan un “cuánto”, mientras que otras requieren un “cuánto” y un “hacia dónde”. Esto divide el mundo físico en dos grandes grupos: las cantidades escalares y las vectoriales.

Una cantidad escalar queda completamente definida con un número (su magnitud) y su respectiva unidad. No importa hacia dónde apunte o dónde ocurra; el valor numérico nos da toda la información necesaria.

Ejemplos de cantidades escalares en nuestra vida diaria

• Temperatura: Cuando revisamos la aplicación del clima, vemos que la temperatura ambiente será de $25 \, ^\circ\mathrm{C}$. Ese número nos dice si hace calor o frío, pero no tiene sentido preguntar “hacia dónde apunta la temperatura”. Su valor nos basta.
• Masa: Al comprar una bolsa de arroz de $1 \, \mathrm{kg}$ o llenar el tanque de gasolina con $40 \, \mathrm{L}$, nos importa únicamente “cuánta” sustancia hay. La cantidad de materia no tiene orientación en el espacio.
• Distancia recorrida: Si viajamos de San José a Cartago y el odómetro de nuestro carro marca $13 \, \mathrm{km}$, esa es la distancia total que las llantas rodaron. Incluso si tomamos curvas o damos vueltas en una rotonda (cambiando de dirección constantemente), el odómetro seguirá sumando kilómetros porque la distancia es un escalar.
• Tiempo: Nuestra clase de Física dura $90 \, \mathrm{minutos}$. El tiempo transcurre de manera continua; un minuto es un minuto sin importar si estás sentado mirando hacia el norte o caminando hacia el sur.

Por otro lado, una cantidad vectorial es más rica en información. Para definirla por completo, no basta con conocer su magnitud; necesitamos especificar explícitamente su dirección y su sentido.

Por esta razón, solemos representar los vectores gráficamente mediante flechas: la longitud de la flecha es proporcional a la magnitud, y la punta indica la dirección y el sentido de la cantidad. Para denotarlos simbólicamente en las ecuaciones, se coloca una pequeña flecha sobre la letra que representa la cantidad. Por ejemplo, si una cantidad se llama $A$, escribiremos $\vec{A}$ para indicar que es un vector. También se utiliza la letra que representa el vector para indicar su magnitud, lo cual se escribe

$$|\vec{A}|=A$$

Ejemplos de cantidades vectoriales en nuestra vida diaria

• Velocidad del viento: Si el pronóstico del clima dice que habrá vientos de $20 \, \mathrm{km/h}$, saber solo el número es inútil. Si vas en bicicleta, necesitas saber si ese viento sopla a favor (Noreste) para ayudarte, o en contra para frenarte. Cambiar la dirección cambia por completo el efecto físico.
• Dar indicaciones (Desplazamiento): Si le dices a un amigo que tu casa está a $1 \, \mathrm{km}$ de distancia, se perderá. Para que te encuentre, la información obligatoria es la dirección: “está a $1 \, \mathrm{km}$ en un ángulo de $30^\circ$ al sur de aquí”. Sin la dirección, la magnitud no nos sirve de nada.
• La gravedad: Todos sabemos que si soltamos una manzana, esta cae. Físicamente, decimos que tiene una aceleración de $9,81 \, \mathrm{m/s}^2$, pero la clave vectorial es que esa aceleración siempre está dirigida estrictamente hacia el centro de la Tierra (hacia abajo). Si la gravedad fuera un escalar o apuntara hacia los lados, caminar sería imposible.
• Fuerza al empujar: Si necesitas mover un sofá pesado aplicando una fuerza de $50 \, \mathrm{N}$, el resultado depende totalmente de hacia dónde lo empujas. Si lo empujas hacia la pared, no se moverá de su sitio; si lo empujas hacia la puerta, se desplazará. La fuerza exige una magnitud y una dirección muy específica para tener sentido.

Sistemas de referencia

Aquí surge una pregunta obligada: si un vector necesita una dirección, ¿dirección respecto a qué? No podemos decir “hacia arriba” o “hacia la derecha” sin definir un punto de vista previo.

Debido a este carácter direccional, los vectores exigen un marco o sistema de referencia desde el cual poder medir su magnitud y trazar su dirección. Un sistema de referencia es simplemente un conjunto de convenciones espaciales (como los puntos cardinales o las paredes de un cuarto) que un observador utiliza para ubicar los objetos de manera consistente.

Sistema cartesiano rectangular

El sistema de referencia más utilizado en Física es el sistema rectangular de ejes coordenados (o sistema cartesiano). A partir de este esquema de ejes perpendiculares, podemos descomponer cualquier vector en sus componentes cartesianas, lo cual es la herramienta matemática fundamental que nos permitirá sumar, restar y analizar vectores de forma exacta.

Entendiendo las coordenadas $x$ y $y$

Imagina que estás en el centro de una cuadrícula infinita, como si estuvieras de pie en el cruce de dos avenidas perpendiculares. Este punto central se llama origen y se denota como $O$. Desde aquí, puedes moverte en cuatro direcciones fundamentales:

• Eje $x$ (horizontal): La avenida que corre de izquierda a derecha. Moviéndote hacia la derecha, aumentamos el valor de $x$ (valores positivos). Moviéndote hacia la izquierda, disminuimos el valor de $x$ (valores negativos).
• Eje $y$ (vertical): La calle perpendicular que sube y baja. Moviéndote hacia arriba, aumentamos el valor de $y$ (valores positivos). Moviéndote hacia abajo, disminuimos el valor de $y$ (valores negativos).

Cualquier punto en este plano queda perfectamente localizado por un par ordenado $(x, y)$, donde:

• $x$ (coordenada horizontal): Indica qué tan lejos estás en dirección horizontal. Si $x = 3$, estás 3 unidades a la derecha . Si $x = -2$, estás 2 unidades a la izquierda.
• $y$ (coordenada vertical): Indica qué tan lejos estás en dirección vertical. Si $y = 4$, estás 4 unidades arriba . Si $y = -5$, estás 5 unidades abajo.

Los cuatro cuadrantes

El sistema cartesiano divide el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, que funcionan como los cuatro cuartos del campus:

• Primer cuadrante ($x > 0$, $y > 0$): Derecha y arriba
• Segundo cuadrante ($x < 0$, $y > 0$): Izquierda y arriba
• Tercer cuadrante ($x < 0$, $y < 0$): Izquierda y abajo
• Cuarto cuadrante ($x > 0$, $y < 0$): Derecha y abajo

Esta estructura nos permite calcular distancias, ángulos y realizar cualquier operación matemática necesaria para resolver problemas de física con precisión.

Pon a prueba tu conocimiento

Elije la opción que completa correctamente cada una de las frases.

1. En el sistema cartesiano rectangular, un punto con coordenadas $(-3, 4)$ se encuentra ________ del origen.

   1. 3 unidades a la derecha y 4 unidades arriba

   2. 3 unidades a la izquierda y 4 unidades abajo

   3. 3 unidades a la izquierda y 4 unidades arriba

   4. 3 unidades a la derecha y 4 unidades abajo

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Observa el siguiente sistema cartesiano e identifica la respuesta correcta.

2. El punto $P$ se encuentra en el ________ cuadrante.

   1. segundo cuadrante

   2. cuarto cuadrante

   3. primer cuadrante

   4. tercer cuadrante

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3. El punto $Q$ tiene coordenadas cartesianas ________.

   1. $(-3, -2)$

   2. $(2, -3)$

   3. $(-2, -3)$

   4. $(-3, 2)$

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Sistema de coordenadas polares

Además del sistema cartesiano, existe otro sistema de referencia muy útil en Física: el sistema de coordenadas polares. Este sistema es particularmente conveniente cuando trabajamos con problemas que tienen simetría radial o cuando el movimiento natural de un objeto sigue trayectorias circulares o espirales.

En el sistema polar, la posición de un punto en el plano se determina mediante dos cantidades: la distancia desde un punto de referencia fijo (origen) y el ángulo respecto a una dirección de referencia (generalmente el eje $x$ positivo).

Las coordenadas polares se denotan como $(r, \theta)$, donde:

• $r$ (radio): es la distancia desde el origen hasta el punto. Esta cantidad es siempre positiva o cero: $r \geq 0$.
• $\theta$ (ángulo): es el ángulo medido desde el eje $x$ positivo hasta el vector de posición del punto, en sentido antihorario. Este ángulo se puede expresar en grados $0^\circ$ a $360^\circ$; o en radianes, $0$ a $2\pi$ rad.

Relación con coordenadas cartesianas

Las coordenadas polares y cartesianas están relacionadas por las siguientes ecuaciones de conversión:

$$x = r \cos \theta$$ $$y = r \sin \theta$$

Para convertir de cartesianas a polares:

$$\displaystyle r = \sqrt{x^2 + y^2}$$ $$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$$

Donde el cuadrante correcto de $\theta$ se determina por los signos de $x$ y $y$.

Ejemplo - conversión entre sistemas de coordenadas

Supongamos que un punto tiene coordenadas cartesianas $(3, 4)$ en metros.

Para convertir a polares:

$$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \mathrm{m}$$$$\theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) = 53,13^\circ$$

Por lo tanto, las coordenadas polares son $(5, 53,13^\circ)$.

Para verificar la conversión inversa:

$$x = 5 \cos(53,13^\circ) = 5 \times 0,6 = 3 \, \mathrm{m}$$$$y = 5 \sin(53,13^\circ) = 5 \times 0,8 = 4 \, \mathrm{m}$$

Suma y resta de vectores

La suma y resta de vectores son operaciones fundamentales en física, ya que muchas cantidades físicas interactúan de manera vectorial. Existen tres métodos principales para realizar estas operaciones: el método gráfico, el método geométrico y el método analítico (componentes).

Método gráfico: regla del paralelogramo

La suma de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ se puede representar gráficamente usando la regla del paralelogramo. Para sumar $\vec{A} + \vec{B}$:

1. Coloca ambos vectores con sus orígenes en el mismo punto
2. Construye un paralelogramo trazando líneas paralelas a cada vector
3. La diagonal del paralelogramo (desde el origen) representa el vector resultante $\vec{R}$

El vector resultante se expresa como:

$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$$

Método gráfico: regla del polígono o cabeza-cola

Otra forma equivalente de sumar vectores es la regla del polígono o cabeza-cola:

1. Dibuja el primer vector $\vec{A}$ desde un punto de origen
2. Dibuja el segundo vector $\vec{B}$ con su origen en la cabeza (punta) de $\vec{A}$
3. El vector resultante $\vec{R}$ va desde el origen de $\vec{A}$ hasta la cabeza de $\vec{B}$

Este método se extiende fácilmente a la suma de más de dos vectores, simplemente concatenando cada vector al final del anterior.

Resta de vectores

La resta de vectores $\vec{A} - \vec{B}$ es equivalente a la suma de $\vec{A}$ con el opuesto de $\vec{B}$:

$$\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$$

Gráficamente, el opuesto de un vector $\vec{B}$ se obtiene invirtiendo su dirección (manteniendo la misma magnitud pero apuntando en sentido contrario). Luego se aplica la regla del polígono.

Método analítico: componentes rectangulares

El método más preciso para sumar y restar vectores utiliza las componentes rectangulares. Descomponemos cada vector en sus componentes $x$ y $y$, y luego operamos componente por componente.

Para un vector $\vec{A}$ con magnitud $A$ y ángulo $\theta$ respecto al eje $x$ positivo:

$$A_x = A \cos \theta$$ $$A_y = A \sin \theta$$

La suma de dos vectores se realiza así:

$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$$ $$R_x = A_x + B_x$$ $$R_y = A_y + B_y$$

La magnitud del vector resultante se obtiene mediante el teorema de Pitágoras:

$$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$$

Y la dirección del vector resultante es:

$$\theta_R = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right)$$

Ejemplo - suma de vectores por componentes

Un objeto se mueve bajo la acción de dos fuerzas: $\vec{F}_1 = 50 \, \mathrm{N}$ en dirección $37^\circ$ sobre el eje $x$, y $\vec{F}_2 = 30 \, \mathrm{N}$ en dirección $53^\circ$ sobre el eje $x$. Encontrar la fuerza resultante.

Primero calculamos las componentes:

$$F_{1x} = 50 \cos(37^\circ) = 50 \times 0,799 = 39,95 \, \mathrm{N}$$$$F_{1y} = 50 \sin(37^\circ) = 50 \times 0,601 = 30,05 \, \mathrm{N}$$$$F_{2x} = 30 \cos(53^\circ) = 30 \times 0,602 = 18,06 \, \mathrm{N}$$$$F_{2y} = 30 \sin(53^\circ) = 30 \times 0,799 = 23,97 \, \mathrm{N}$$

Sumamos las componentes:

$$R_x = F_{1x} + F_{2x} = 39,95 + 18,06 = 58,01 \, \mathrm{N}$$$$R_y = F_{1y} + F_{2y} = 30,05 + 23,97 = 54,02 \, \mathrm{N}$$

Magnitud del vector resultante:

$$R = \sqrt{58,01^2 + 54,02^2} = \sqrt{3365,16 + 2918,16} = \sqrt{6283,32} = 79,27 \, \mathrm{N}$$

Dirección del vector resultante:

$$\theta_R = \arctan\left(\frac{54,02}{58,01}\right) = \arctan(0,931) = 42,97^\circ$$

Por lo tanto, la fuerza resultante es $\vec{R} = 79,27 \, \mathrm{N}$ en dirección $42,97^\circ$ sobre el eje $x$.

Propiedades de la suma de vectores

La suma de vectores cumple con las siguientes propiedades fundamentales:

Propiedad conmutativa:

$$\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$$

Propiedad asociativa:

$$(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})$$

Elemento neutro:

$$\vec{A} + \vec{0} = \vec{A}$$

Elemento opuesto:

$$\vec{A} + (-\vec{A}) = \vec{0}$$

Vectores unitarios

En física, frecuentemente utilizamos vectores unitarios para expresar las componentes de un vector de forma compacta. Un vector unitario es un vector con magnitud igual a 1 que indica una dirección específica.

En el sistema cartesiano, los vectores unitarios se denotan como:

• $\hat{\iota}$: vector unitario en dirección del eje $x$ positivo
• $\hat{\jmath}$: vector unitario en dirección del eje $y$ positivo
• $\hat{\kappa}$: vector unitario en dirección del eje $z$ positivo (para problemas en tres dimensiones)

Cualquier vector $\vec{A}$ puede expresarse como:

$$\vec{A} = A_x \hat{\iota} + A_y \hat{\jmath}$$

La suma de vectores en notación de vectores unitarios es:

$$\vec{R} = (A_x + B_x) \hat{\iota} + (A_y + B_y) \hat{\jmath}$$

Ejemplo - vectores unitarios

Dados los vectores $\vec{A} = 3\hat{\iota} + 4\hat{\jmath} \, \mathrm{m}$ y $\vec{B} = -2\hat{\iota} + 5\hat{\jmath} \, \mathrm{m}$, encontrar $\vec{A} + \vec{B}$ y $\vec{A} - \vec{B}$.

Suma:

$$\vec{A} + \vec{B} = (3 + (-2))\hat{\iota} + (4 + 5)\hat{\jmath} = 1\hat{\iota} + 9\hat{\jmath} \, \mathrm{m}$$

Resta:

$$\vec{A} - \vec{B} = (3 - (-2))\hat{\iota} + (4 - 5)\hat{\jmath} = 5\hat{\iota} - 1\hat{\jmath} \, \mathrm{m}$$

Para encontrar la magnitud del vector suma:

$$|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{1^2 + 9^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82} = 9,06 \, \mathrm{m}$$