Aplicación de las leyes de Newton

Objetivos de aprendizaje

• Identificar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo —peso, normal, tensión y fricción— y representarlas en un diagrama de cuerpo libre (DCL).
• Usar la primera ley de Newton para resolver problemas donde intervienen fuerzas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio.
• Usar la segunda ley de Newton para resolver problemas donde intervienen fuerzas que actúan sobre un cuerpo con aceleración.
• Distinguir entre fricción estática y cinética, y determinar su magnitud a partir del coeficiente de fricción y la fuerza normal.

En la semana anterior aprendimos las reglas del juego: las tres leyes de Newton, que relacionan la fuerza neta con el cambio de movimiento, y el diagrama de cuerpo libre (DCL) como herramienta para inventariar fuerzas. En esta semana ponemos esas reglas a trabajar. Todo problema de dinámica —una caja sobre una rampa, un letrero colgado de dos cables, un ascensor que arranca— se resuelve con el mismo método: identificar las fuerzas y dibujar el DCL, sumarlas por componentes y aplicar $\sum \vec{F} = \vec{0}$ (equilibrio) ó $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ (dinámica). Para hacerlo con soltura, primero afinaremos el reconocimiento del “catálogo” de fuerzas que aparece una y otra vez en los problemas de mecánica: el peso, la normal, la tensión y la fricción.

El catálogo de fuerzas, una por una

La habilidad número uno del análisis dinámico es mirar una situación física y responder sin dudar: ¿qué fuerzas actúan sobre este cuerpo y hacia dónde apunta cada una? Repasemos cada fuerza del catálogo, ahora con el detalle que necesitamos para calcular.

El peso: la fuerza que siempre apunta hacia abajo

El peso es la fuerza gravitacional con que la Tierra atrae al cuerpo:

$$\vec{P} = m\vec{g}$$

Tres recordatorios que evitan errores: apunta verticalmente hacia abajo siempre —sin importar cómo esté inclinada la superficie ni hacia dónde se mueva el cuerpo—; su magnitud vale $P = mg$, con $g = 9{,}8\,\mathrm{m/s^2}$; y actúa sobre cada porción del cuerpo, aunque en el DCL lo dibujamos como una sola flecha aplicada en el centro de gravedad. Un cuerpo que sube, que baja o que se desliza sobre un plano inclinado tiene exactamente el mismo peso.

La fuerza normal: perpendicular a la superficie, pero no siempre igual al peso

La fuerza normal $\vec{N}$ es la fuerza de contacto que una superficie ejerce sobre el cuerpo apoyado en ella. Su dirección es siempre perpendicular a la superficie de contacto —de ahí su nombre—. ¿Y su magnitud? Aquí está el error más común de toda la dinámica: la normal no tiene una fórmula fija. Su valor es exactamente el necesario para que el cuerpo no atraviese la superficie, y por eso se determina aplicando las leyes de Newton en la dirección perpendicular al contacto. La tabla muestra los casos clásicos (en todos ellos el cuerpo no acelera en la dirección perpendicular a la superficie):

Situación	Fuerza normal
Superficie horizontal, sin otras fuerzas verticales	$N = mg$
Superficie horizontal con un empuje adicional $F$ inclinado un ángulo $\theta$ hacia abajo	$N = mg + F\sin\theta$
Superficie horizontal con un jalón $F$ inclinado un ángulo $\theta$ hacia arriba	$N = mg - F\sin\theta$
Plano inclinado un ángulo $\theta$ (cuerpo en reposo o deslizando sobre él)	$N = mg\cos\theta$

Observe que empujar un carrito inclinando las manos hacia abajo aumenta la normal, y jalar con una cuerda hacia arriba la disminuye: en los dos casos la componente vertical de la fuerza ayuda o se opone al peso. En el caso extremo, si se jala tan fuerte que $F\sin\theta \ge mg$, la normal se anula y la caja despega de la superficie.

Ejemplo — empujar hacia abajo o jalar hacia arriba

Una caja de masa $m = 12\,\mathrm{kg}$ está sobre un piso horizontal y una persona aplica una fuerza de magnitud $F = 100\,\mathrm{N}$ formando $\theta = 30^\circ$ con la horizontal. Como la caja no se mueve en dirección vertical, la segunda ley en esa dirección da $\sum F_y = 0$:

• Si la fuerza empuja hacia abajo:

$$N - mg - F\sin\theta = 0,$$

de donde

$$N = mg + F\sin 30^\circ = (12)(9{,}8) + (50)(0{,}50) = 117{,}6 + 25 = 142{,}6\,\mathrm{N}$$

• Si la fuerza jala hacia arriba:

$$N - mg + F\sin\theta = 0,$$

de donde

$$N = mg - F\sin 30^\circ = 117{,}6 - 25 = 92{,}6\,\mathrm{N}$$

La misma fuerza, aplicada en direcciones distintas, cambia la normal en $50\,\mathrm{N}$ respecto del peso $117{,}6\,\mathrm{N}$. Esta diferencia no es un detalle menor: como veremos enseguida, la fricción depende directamente de $N$, así que la manera de empujar o jalar cambia también la fricción.

La fuerza $\vec{f}$ que se muestra en ambos casos es necesaria para garantizar el equilibrio. Más adelante identificaremos dicha fuerza con la fricción.

La tensión: la fuerza que transmiten las cuerdas

La tensión $\vec{T}$ es la fuerza que una cuerda, cable o cadena ejerce sobre los cuerpos a los que está sujeta. Apunta a lo largo de la cuerda, alejándose del cuerpo: una cuerda puede tirar, pero nunca empujar. En los problemas de este curso usamos cuerdas ideales, que satisfacen dos propiedades:

• Masa despreciable: la tensión tiene la misma magnitud en todos los puntos de la cuerda; en particular, la fuerza con que la cuerda tira de un extremo es igual a la que tira del otro.
• Inextensible: la cuerda no se estira, de modo que los cuerpos conectados por ella se mueven juntos: si uno avanza $1\,\mathrm{m}$, el otro también, y ambos tienen aceleraciones de la misma magnitud.

Una polea ideal (de masa y fricción despreciables) solo cambia la dirección de la tensión, no su magnitud. Gracias a estas propiedades, un sistema de cuerda y polea —como el que baja una cubeta a un pozo o el de una grúa— se analiza con una sola incógnita de tensión compartida por todos los cuerpos conectados.

La fricción: la fuerza que se opone al deslizamiento

La fricción (o rozamiento) es la fuerza de contacto que una superficie ejerce paralela a ella, oponiéndose al deslizamiento de un cuerpo sobre otra superficie —o a su tendencia a deslizar—. A diferencia de la normal, que es siempre perpendicular al contacto, la fricción actúa a lo largo de la superficie, en sentido opuesto al movimiento relativo (o al intento de movimiento). Hay dos tipos:

• Fricción estática: actúa mientras el cuerpo no desliza, oponiéndose al inicio del deslizamiento. No tiene un valor único: se autoajusta para equilibrar los demás esfuerzos, hasta un máximo que depende de los materiales y de cuánto se presionen las superficies:

$$f_s \le \mu_s N$$

El valor $\mu_s$ es el coeficiente de fricción estática, característico de cada par de superficies. La igualdad $f_s = \mu_s N$ se cumple solo al borde del deslizamiento, cuando cualquier empuje adicional hace que el cuerpo arranque.

• Fricción cinética (o dinámica): actúa mientras el cuerpo sí desliza, con un valor prácticamente constante y proporcional a la normal:

$$f_k = \mu_k N$$

donde $\mu_k$ es el coeficiente de fricción cinética. La dirección de $\vec{f}_k$ es siempre opuesta a la velocidad relativa de deslizamiento.

En general $\mu_s > \mu_k$: hace falta más fuerza para arrancar un objeto que para mantenerlo deslizando. Piense en el refrigerador de la cocina: mientras empuja suave y no se mueve, la fricción estática iguala su esfuerzo; en el instante en que arranca, la fricción cae bruscamente y el refrigerador “se va”. Estos son valores típicos de los coeficientes:

Par de superficies	$\mu_s$	$\mu_k$
Caucho sobre concreto seco	1,0	0,8
Acero sobre acero (secos)	0,6	0,4
Madera sobre madera	0,5	0,3
Hielo sobre hielo	0,1	0,03
Teflón sobre acero	0,04	0,04

Dos propiedades sorprendentes y útiles: en un rango amplio, la fricción no depende del área aparente de contacto —una caja desliza igual parada que acostada, porque aunque el área cambia, también lo hace la distribución de presión— y la fricción cinética casi no depende de la rapidez. Lo que sí la controla es la normal: apriete las superficies una contra otra y la fricción sube en proporción directa.

Pon a prueba tu conocimiento

1. Una caja está en reposo sobre un piso y se le empuja con una fuerza horizontal cada vez mayor sin que llegue a moverse. La fuerza de fricción estática sobre ella __________.

   1. vale siempre $\mu_s N$

   2. permanece constante en $\mu_s N$

   3. vale cero, porque la caja no se mueve

   4. crece junto con el empuje, hasta un máximo de $\mu_s N$

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2. Una caja, con un peso de $100\text{ N}$, desliza sobre un piso, experimentando una normal con $N = 200\,\mathrm{N}$ y $\mu_k = 0{,}30$. La fricción cinética vale __________.

   1. $30\,\mathrm{N}$

   2. $60\,\mathrm{N}$

   3. $100\,\mathrm{N}$

   4. $200\,\mathrm{N}$

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3. Si se duplica la fuerza con que dos superficies se presionan entre sí, la fricción cinética __________.

   1. no cambia

   2. se duplica

   3. se cuadruplica

   4. se reduce a la mitad

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4. Que $\mu_s > \mu_k$ significa que __________.

   1. la fricción siempre se opone al movimiento

   2. la fricción no depende del área de contacto

   3. es más fácil arrancar un objeto que mantenerlo deslizando

   4. se necesita más fuerza para arrancar un objeto que para mantenerlo deslizando

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Cuerpos en equilibrio: la primera ley en acción

Decimos que un cuerpo está en equilibrio cuando su aceleración es cero. Por la primera ley de Newton, eso ocurre si y solo si la fuerza neta sobre él es cero, lo que en componentes se escribe:

$$\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0$$

Cuidado con la palabra “equilibrio”: no significa necesariamente reposo. Un cuerpo en equilibrio está en reposo o moviéndose con velocidad constante —el bote que cruza el lago a $20\,\mathrm{km/h}$ en línea recta está tan en equilibrio como el letrero colgado de un semáforo—. La estrategia es siempre la misma: dibujar el DCL, elegir ejes convenientes y exigir que la suma de componentes se anule en cada eje. En superficies inclinadas conviene alinear el eje $x$ con la superficie y el eje $y$ perpendicular a ella: así la normal queda “pura” en un eje y el peso se descompone en $mg\sin\theta$ (paralelo) y $mg\cos\theta$ (perpendicular).

Considere una caja en reposo sobre un plano inclinado un ángulo $\theta$, donde la fricción evita que resbale hacia abajo. El DCL contiene exactamente tres fuerzas:

Ejemplo — caja en reposo sobre un plano inclinado

Una caja de masa $m = 25\,\mathrm{kg}$ reposa sobre una rampa de $\theta = 30^\circ$. Con ejes alineados con la rampa, las ecuaciones de equilibrio son:

$$\sum F_y = N - mg\cos\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad N = mg\cos 30^\circ = (25)(9{,}8)(0{,}866) \approx 212\,\mathrm{N}$$$$\sum F_x = f_s - mg\sin\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad f_s = mg\sin 30^\circ = (25)(9{,}8)(0{,}50) = 122{,}5\,\mathrm{N}$$

Dos observaciones valiosas. Primero, la normal no vale $mg = 245\,\mathrm{N}$, sino menos: la rampa solo “sostiene” la componente perpendicular del peso. Segundo, la fricción estática se autoajustó exactamente a $122{,}5\,\mathrm{N}$ para equilibrar el empuje de la gravedad; esto será posible mientras $\mu_s \ge \tan\theta = 0{,}58$. De hecho, la condición $\mu_s \ge \tan\theta$ explica por qué toda rampa tiene un ángulo máximo de inclinación sin deslizar: suba la rampa y la caja resbalará justo cuando $\tan\theta$ supere al coeficiente estático.

Pon a prueba tu conocimiento

1. Un cuerpo está en equilibrio si __________.

   1. su aceleración es cero

   2. está necesariamente en reposo

   3. no actúa ninguna fuerza sobre él

   4. se mueve con velocidad que aumenta de manera uniforme

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2. Una caja reposa sobre un plano inclinado. Si el ángulo de inclinación aumenta, la fuerza normal sobre la caja __________.

   1. permanece igual a $mg$

   2. aumenta, porque el peso no cambia

   3. disminuye, pues vale $mg\cos\theta$ y $\cos\theta$ se reduce

   4. aumenta en la misma proporción que la fricción

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3. Un letrero cuelga en reposo de un solo cable vertical. La tensión del cable __________.

   1. es menor que el peso del letrero

   2. es mayor que el peso del letrero

   3. depende del material del cable

   4. es igual al peso del letrero

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Dinámica de partículas: la segunda ley en acción

Cuando la fuerza neta no es cero, el cuerpo acelera. La segunda ley, $\sum \vec{F} = m\vec{a}$, se aplica por componentes:

$$\sum F_x = ma_x, \qquad \sum F_y = ma_y$$

El método es idéntico al del equilibrio —DCL, ejes, componentes— con una diferencia: ahora la suma de componentes no se anula, sino que iguala $m$ por la aceleración correspondiente. La elección inteligente de ejes se vuelve aún más valiosa: en un plano inclinado, por ejemplo, el cuerpo solo acelera a lo largo de la superficie, de modo que la componente perpendicular de la segunda ley se reduce a $\sum F_y = 0$ aunque el cuerpo se mueva.

Ejemplo — cajón jalado con una cuerda, con fricción

Un cajón de $m = 20\,\mathrm{kg}$ se jala sobre un piso horizontal con una cuerda que ejerce $T = 100\,\mathrm{N}$ formando $30^\circ$ sobre la horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el cajón y el piso es $\mu_k = 0{,}35$. Queremos la aceleración.

Paso 1 — DCL: cuatro fuerzas actúan sobre el cajón: la tensión $\vec{T}$ (a $30^\circ$), el peso $mg = (20)(9{,}8) = 196\,\mathrm{N}$, la normal $\vec{N}$ y la fricción cinética $\vec{f}_k$ (opuesta al movimiento).

Paso 2 — dirección vertical (el cajón no se mueve hacia arriba ni hacia abajo, $a_y = 0$):

$$\sum F_y = N - mg + T\sin 30^\circ = 0 \quad\Rightarrow\quad N = 196 - (100)(0{,}50) = 146\,\mathrm{N}$$

Observe: jalar con la cuerda inclinada hacia arriba reducía la normal (de $196\,\mathrm{N}$ a $146\,\mathrm{N}$) —exactamente lo contrario que empujar hacia abajo.

Paso 3 — fricción:

$$f_k = \mu_k N = (0{,}35)(146) = 51{,}1\,\mathrm{N}$$

Paso 4 — dirección horizontal (aquí sí hay aceleración):

$$\sum F_x = T\cos 30^\circ - f_k = ma \quad\Rightarrow\quad a = \frac{86{,}6 - 51{,}1}{20} \approx 1{,}8\,\mathrm{m/s^2}$$

El cajón acelera con $1{,}8\,\mathrm{m/s^2}$. Si la misma fuerza se aplicara horizontalmente, la normal sería mayor ($196\,\mathrm{N}$), la fricción también, y la aceleración resultante sería menor: inclinar el jalón hacia arriba es una manera eficaz de mover cargas pesadas.

Ejemplo — el ascensor y el peso aparente

Una persona de $m = 70\,\mathrm{kg}$ está de pie sobre una báscula dentro de un ascensor. La báscula mide la normal con que la sostiene, no el peso: a eso le llamamos peso aparente. La única aceleración posible es vertical, así que:

$$\sum F_y = N - mg = ma_y \quad\Rightarrow\quad N = m(g + a_y)$$

Movimiento del ascensor	Peso aparente $N$
En reposo o con velocidad constante ($a_y = 0$)	$70(9{,}8) = 686\,\mathrm{N}$
Arranca subiendo ($a_y = +2{,}0\,\mathrm{m/s^2}$)	$70(11{,}8) = 826\,\mathrm{N}$: la báscula marca más
Frena bajando (también $a_y = +2{,}0\,\mathrm{m/s^2}$)	$826\,\mathrm{N}$: de nuevo más que el peso
Baja acelerando ($a_y = -2{,}0\,\mathrm{m/s^2}$)	$70(7{,}8) = 546\,\mathrm{N}$: la báscula marca menos
Caída libre ($a_y = -g$)	$N = 0$: ingravidez

Ese es el “estómago que se queda un piso más arriba” al arrancar la bajada: si la normal que sostiene sus órganos disminuye de golpe, usted lo percibe como una sensación de flotar. Y la caída libre no es un caso exótico: las naves en órbita están cayendo libremente alrededor de la Tierra de manera permanente, y por eso sus tripulantes flotan sin que su masa haya cambiado en nada.

Pon a prueba tu conocimiento

1. Una persona sube en un ascensor que acelera hacia arriba. La fuerza normal que el piso ejerce sobre ella es __________.

   1. menor que su peso

   2. mayor que su peso

   3. igual a su peso

   4. cero

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2. Un bloque desliza sobre un piso horizontal, y la única fuerza horizontal que actúa sobre él es la fricción cinética. Su aceleración vale __________.

   1. cero

   2. $g$, dirigida opuesta al movimiento

   3. $\mu_k g$, dirigida opuesta al movimiento

   4. $\mu_k g$, dirigida a favor del movimiento

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3. Un cuerpo desliza hacia abajo por un plano inclinado sin fricción, un ángulo $\theta$ sobre la horizontal. Su aceleración vale __________.

   1. $g$

   2. $g\cos\theta$

   3. $g\sin\theta$

   4. $g\tan\theta$

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Estrategia general: del enunciado a la solución

Los ejemplos anteriores comparten un mismo esqueleto. Con práctica, este procedimiento resolverá cualquier problema de una sola partícula:

1. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de cada cuerpo: un recuadro aislado y una flecha rotulada por cada fuerza que otros cuerpos ejercen sobre él (peso, normal, tensión, fricción, empujes). Nada de fuerzas ficticias: la aceleración y la fuerza neta son resultados, no fuerzas.
2. Elija ejes convenientes: si hay superficie inclinada, un eje paralelo a ella y otro perpendicular; si el cuerpo se mueve en línea recta, un eje a lo largo del movimiento.
3. Descomponga las fuerzas que no estén alineadas con los ejes (por ejemplo, el peso en un plano inclinado: $mg\sin\theta$ y $mg\cos\theta$).
4. Aplique la segunda ley por componentes: $\sum F_x = ma_x$ y $\sum F_y = ma_y$, usando $\sum F = 0$ en la dirección donde no hay aceleración. Recuerde la fricción: estática si no desliza ($f_s \le \mu_s N$), cinética si desliza ($f_k = \mu_k N$).
5. Resuelva el sistema de ecuaciones e interprete el resultado: revise signos, unidades y si el valor tiene sentido físico (¿la normal salió negativa? Entonces el cuerpo despega; ¿la aceleración salió en contra del movimiento asumido? Revise el sentido de la fricción).

Cuatro errores clásicos que vale la pena vigilar:

• Usar $N = mg$ siempre. La normal cambia con empujes, jalones e inclinaciones; se calcula, no se memoriza.
• Igualar la fricción estática a $\mu_s N$ siempre. Solo en el borde del deslizamiento; antes, $f_s$ vale exactamente lo necesario para el equilibrio.
• Dibujar $m\vec{a}$ como una fuerza más en el DCL. La aceleración es consecuencia de las fuerzas, y aparece del otro lado de la ecuación.
• Mezclar componentes de ejes distintos en la misma ecuación: cada eje se analiza por separado.

Resumen de la semana

Concepto	Enunciado	Expresión
Peso	fuerza gravitacional, siempre vertical hacia abajo	$\vec{P} = m\vec{g}$
Fuerza normal	perpendicular a la superficie de contacto; su magnitud se calcula con las leyes de Newton	$N = mg\cos\theta$ en un plano inclinado
Tensión	a lo largo de la cuerda ideal; igual magnitud en todos sus puntos	polea ideal: cambia dirección, no magnitud
Fricción estática	se autoajusta hasta un máximo, antes de que el cuerpo deslize	$f_s \le \mu_s N$
Fricción cinética	constante mientras el cuerpo desliza, opuesta al movimiento	$f_k = \mu_k N$
Equilibrio (primera ley)	sin aceleración: reposo o velocidad constante	$\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0$
Dinámica (segunda ley)	la fuerza neta produce aceleración, por componentes	$\sum F_x = ma_x, \quad \sum F_y = ma_y$