Práctica

Ejercicio 1 — 🧱 La caja en equilibrio

Sobre una caja en reposo actúan dos fuerzas: $F_1 = 100\,\mathrm{N}$ dirigida a lo largo del eje $x$, y $F_2 = 200\,\mathrm{N}$ que forma un ángulo $\theta$ con el eje $x$, con componente horizontal opuesta a $F_1$.

1. ¿Qué valor de $\theta$ mantiene el equilibrio en la dirección $x$?
2. La componente $y$ de $F_2$ no está equilibrada. ¿Qué tercera fuerza se necesita para que la caja permanezca en reposo?

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1. Equilibrio en la dirección x

La caja está en reposo, así que es un marco de referencia inercial y la fuerza neta debe ser cero componente a componente. En $x$:

$$F_{\text{neta},x} = F_1 - F_2\cos\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos\theta = \frac{F_1}{F_2} = \frac{100}{200} = 0{,}5$$$$\theta = \arccos(0{,}5) = 60^\circ$$

2. Tercera fuerza

La componente $y$ de $F_2$ vale:

$$F_{2y} = F_2 \mathrm{sen}\,\theta = (200\,\mathrm{N})\mathrm{sen}\,60^\circ \approx 173\,\mathrm{N} \quad \text{(hacia arriba)}$$

Para el equilibrio total se requiere una tercera fuerza de $173\,\mathrm{N}$ dirigida hacia abajo (por ejemplo, el peso de la caja o el soporte de una cuerda).

Ejercicio 2 — 🛗 El ascensor

Una persona de $60\,\mathrm{kg}$ viaja en un ascensor. Determina la fuerza normal que el piso ejerce sobre ella cuando:

1. el ascensor está en reposo;
2. sube con una aceleración de $1{,}5\,\mathrm{m/s^2}$;
3. baja con una aceleración de $1{,}5\,\mathrm{m/s^2}$.

¿En qué caso se siente “más pesada”? Usa $g = 9{,}8\,\mathrm{m/s^2}$.

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La Segunda Ley aplicada a la dirección $y$ (positiva hacia arriba) da $F_{\text{neta},y} = N - mg = ma$, de modo que $N = m(g + a)$.

1. En reposo ($a = 0$):

$$N = mg = (60\,\mathrm{kg})(9{,}8\,\mathrm{m/s^2}) \approx 588\,\mathrm{N}$$

2. Subiendo con aceleración hacia arriba ($a = +1{,}5\,\mathrm{m/s^2}$):

$$N = (60\,\mathrm{kg})(9{,}8 + 1{,}5)\,\mathrm{m/s^2} = (60)(11{,}3) \approx 678\,\mathrm{N}$$

3. Bajando con aceleración hacia abajo ($a = -1{,}5\,\mathrm{m/s^2}$):

$$N = (60\,\mathrm{kg})(9{,}8 - 1{,}5)\,\mathrm{m/s^2} = (60)(8{,}3) \approx 498\,\mathrm{N}$$

La persona se siente más pesada cuando el ascensor acelera hacia arriba ($678\,\mathrm{N}$) y más ligera cuando acelera hacia abajo ($498\,\mathrm{N}$): lo que sentimos como “peso” es la fuerza normal, no $mg$.

Ejercicio 3 — 🛒 El carrito del supermercado

Se empuja un carrito de $15\,\mathrm{kg}$ con una fuerza horizontal de $40\,\mathrm{N}$. La fricción con el piso opone una fuerza de $10\,\mathrm{N}$. El carrito parte del reposo.

1. ¿Cuál es su aceleración?
2. ¿Qué rapidez tiene a los $3{,}0\,\mathrm{s}$?
3. ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?

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1. Aceleración

La fuerza neta a lo largo del movimiento es la diferencia entre el empuje y la fricción:

$$a = \frac{F_{\text{neta}}}{m} = \frac{40\,\mathrm{N} - 10\,\mathrm{N}}{15\,\mathrm{kg}} = \frac{30\,\mathrm{N}}{15\,\mathrm{kg}} = 2{,}0\,\mathrm{m/s^2}$$

2. Rapidez a los 3,0 s

Como la aceleración es constante (MRUA):

$$v = v_0 + at = 0 + (2{,}0\,\mathrm{m/s^2})(3{,}0\,\mathrm{s}) = 6{,}0\,\mathrm{m/s}$$

3. Distancia recorrida

$$x = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}(2{,}0\,\mathrm{m/s^2})(3{,}0\,\mathrm{s})^2 = 9{,}0\,\mathrm{m}$$

La dinámica (Segunda Ley) entrega la aceleración; a partir de ahí, el movimiento se describe con las herramientas cinemáticas de las semanas anteriores.

Ejercicio 4 — 🧊 El trineo sobre el hielo

Un trineo de $5{,}0\,\mathrm{kg}$ se mueve sobre hielo sin fricción. Sobre él actúan dos cuerdas: una lo jala con $12\,\mathrm{N}$ en la dirección $+x$ y otra con $16\,\mathrm{N}$ en la dirección $+y$.

1. Determine la magnitud y la dirección de la aceleración del trineo.
2. ¿Qué tercera fuerza mantendría al trineo en equilibrio?

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1. Aceleración

Las fuerzas son perpendiculares, así que la fuerza neta se obtiene con el teorema de Pitágoras:

$$F_{\text{neta}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{(12\,\mathrm{N})^2 + (16\,\mathrm{N})^2} = \sqrt{144 + 256}\,\mathrm{N} = 20\,\mathrm{N}$$$$a = \frac{F_{\text{neta}}}{m} = \frac{20\,\mathrm{N}}{5{,}0\,\mathrm{kg}} = 4{,}0\,\mathrm{m/s^2}$$

La dirección de la aceleración es la de la fuerza neta:

$$\theta = \arctan\left(\frac{F_2}{F_1}\right) = \arctan\left(\frac{16}{12}\right) \approx 53^\circ$$

El trineo acelera a $4{,}0\,\mathrm{m/s^2}$, unos $53^\circ$ por encima del eje $x$.

2. Fuerza de equilibrio

Para que la fuerza neta sea cero, la tercera fuerza debe tener la misma magnitud ($20\,\mathrm{N}$) y sentido opuesto a la resultante: $12\,\mathrm{N}$ en $-x$ y $16\,\mathrm{N}$ en $-y$ (es decir, apuntando a unos $53^\circ$ por debajo del eje $-x$).

Ejercicio 5 — 📚 El libro sobre la mesa

Un libro de $1{,}5\,\mathrm{kg}$ descansa en reposo sobre una mesa horizontal. Usa $g = 9{,}8\,\mathrm{m/s^2}$.

1. ¿Cuál es el peso del libro?
2. ¿Cuál es la fuerza normal que ejerce la mesa?
3. Identifica los pares acción-reacción en esta situación. ¿La normal y el peso forman un par acción-reacción?

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1. Peso

$$P = mg = (1{,}5\,\mathrm{kg})(9{,}8\,\mathrm{m/s^2}) \approx 15\,\mathrm{N}$$

2. Fuerza normal

El libro está en reposo, así que la fuerza neta es cero:

$$\sum F_y = N - mg = 0 \quad \Rightarrow \quad N = mg \approx 15\,\mathrm{N}$$

3. Pares acción-reacción

Los pares de la tercera ley son:

• el peso: la Tierra atrae al libro ($P = 15\,\mathrm{N}$, hacia abajo) y el libro atrae a la Tierra con $15\,\mathrm{N}$ hacia arriba;
• la normal: la mesa empuja al libro ($N = 15\,\mathrm{N}$, hacia arriba) y el libro empuja a la mesa con $15\,\mathrm{N}$ hacia abajo.

La normal y el peso no forman un par acción-reacción: aunque tienen la misma magnitud, ambas actúan sobre el mismo cuerpo (el libro), mientras que cada par de la tercera ley actúa siempre sobre cuerpos diferentes.

Ejercicio 6 — ⛸️ Los patinadores

Dos patinadores están en reposo sobre hielo sin fricción: ella tiene una masa de $50\,\mathrm{kg}$ y él de $70\,\mathrm{kg}$. Ella empuja a su compañero con una fuerza horizontal de $35\,\mathrm{N}$.

1. ¿Qué aceleración adquiere él?
2. ¿Qué fuerza experimenta ella y qué aceleración adquiere?

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1. Aceleración de él

$$a_{\text{él}} = \frac{F}{m_{\text{él}}} = \frac{35\,\mathrm{N}}{70\,\mathrm{kg}} = 0{,}50\,\mathrm{m/s^2}$$

2. Fuerza y aceleración de ella

Por la tercera ley, él ejerce sobre ella una fuerza de $35\,\mathrm{N}$ en sentido opuesto al empuje. Con esa fuerza neta sobre su cuerpo:

$$a_{\text{ella}} = \frac{F}{m_{\text{ella}}} = \frac{35\,\mathrm{N}}{50\,\mathrm{kg}} = 0{,}70\,\mathrm{m/s^2}$$

Ambos experimentan fuerzas de igual magnitud y sentido opuesto, pero ella acelera más ($0{,}70\,\mathrm{m/s^2}$ contra $0{,}50\,\mathrm{m/s^2}$) porque su masa es menor: la aceleración es inversamente proporcional a la masa.

Ejercicio 7 — 🚀 El viajero espacial

Una estudiante de masa $55\,\mathrm{kg}$ participa en un programa de entrenamiento espacial. Use los valores de la aceleración gravitacional: Tierra $g_T = 9{,}8\,\mathrm{m/s^2}$, Marte $g_M = 3{,}71\,\mathrm{m/s^2}$, Luna $g_L = 1{,}62\,\mathrm{m/s^2}$.

1. ¿Cuál es su masa y cuál su peso en la Tierra?
2. Calcule su peso en Marte y en la Luna. ¿Cambian su masa o su inercia en alguno de estos lugares?
3. Durante el viaje, la nave flota en órbita y la estudiante “flota” dentro de ella, como si no pesara. ¿Significa esto que su masa se anuló? Explique con el concepto de peso aparente.

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1. En la Tierra

La masa es una propiedad del cuerpo: $m = 55\,\mathrm{kg}$, sin importar el lugar. El peso, en cambio, es la fuerza gravitacional del astro:

$$P_T = mg_T = (55\,\mathrm{kg})(9{,}8\,\mathrm{m/s^2}) \approx 540\,\mathrm{N}$$

2. En Marte y en la Luna

$$P_M = (55\,\mathrm{kg})(3{,}71\,\mathrm{m/s^2}) \approx 204\,\mathrm{N}, \qquad P_L = (55\,\mathrm{kg})(1{,}62\,\mathrm{m/s^2}) \approx 89\,\mathrm{N}$$

Su masa —y con ella su inercia— es la misma en los tres lugares.

3. Flotar en órbita

No, su masa no se anuló. La estudiante conserva su inercia: si viniera flotando hacia usted, costaría trabajo detenerla. Lo que ocurre es que la nave y ella caen juntos hacia la Tierra con la misma aceleración $g$, de modo que la nave no ejerce fuerza normal sobre su cuerpo y una báscula marcaría cero. Lo que se hace cero es su peso aparente (la fuerza normal), no su masa ni la atracción gravitacional de la Tierra.