Vectores y operaciones vectoriales

Objetivos de aprendizaje

• Calcular las componentes cartesianas de un vector, dadas su magnitud y dirección.
• Calcular la magnitud y dirección de un vector, dadas sus componentes cartesianas.
• Interpretar direcciones cardinales y relacionarlas con ángulos polares.
• Realizar distintas operaciones vectoriales: suma y resta de vectores, multiplicación de un vector por un escalar, producto escalar.

En la sesión anterior aprendimos qué es un vector, cómo representarlo con flechas y cómo sumarlo y restarlo por componentes. Esas operaciones son apenas el comienzo. Los vectores aparecen por todas partes en la física: describen fuerzas, velocidades, campos eléctricos y magnéticos, y muchas otras cantidades. Para modelar estos fenómenos necesitamos herramientas más potentes.

En esta sesión ampliaremos nuestro arsenal vectorial con dos operaciones nuevas y de enorme importancia física: el producto escalar (o producto punto) y el producto vectorial (o producto cruz). Antes de llegar ahí, sin embargo, necesitamos dominar una habilidad práctica que usaremos una y otra vez: expresar direcciones con los puntos cardinales.

Direcciones cardinales

Hasta ahora hemos medido direcciones con ángulos respecto al eje $x$ positivo, creciendo en sentido antihorario. Ese es el sistema de medición angular polar y funciona perfectamente en problemas de libro de texto. Pero en la vida cotidiana, nadie dice “el supermercado está a $37^\circ$”; decimos “está al noreste”.

Los puntos cardinales son las cuatro direcciones principales de la navegación:

Punto cardinal	Símbolo	Referencia	En un plano cartesiano
Norte	N	Hacia arriba	Eje $y$ positivo
Sur	S	Hacia abajo	Eje $y$ negativo
Este	E	A la derecha	Eje $x$ positivo
Oeste	O	A la izquierda	Eje $x$ negativo

A partir de estos cuatro puntos surgen las direcciones intermedias: noreste (NE), sureste (SE), noroeste (NO) y suroeste (SO). Para direcciones más precisas se combina un punto cardinal con un ángulo. La convención es:

• Si la ubicación está en el primer o segundo cuadrante (mitad norte), se toma el Norte como referencia.
• Si la ubicación está en el tercer o cuarto cuadrante (mitad sur), se toma el Sur como referencia.

Por ejemplo, la dirección ”$70^\circ$ SO” significa: partiendo del Sur, girar $70^\circ$ hacia el Oeste. De forma equivalente, en ángulo polar sería $270^\circ - 70^\circ = 200^\circ$.

De manera similar, la dirección ”$30^\circ$ NE” significa: partiendo del Norte, girar $30^\circ$ hacia el Este.

Ejemplos de conversión entre direcciones cardinales y ángulos polares

Dirección cardinal	Descripción	Ángulo polar equivalente
$45^\circ$ NE	Desde el N, girar $45^\circ$ hacia el E	$45^\circ$
$30^\circ$ SE	Desde el S, girar $30^\circ$ hacia el E	$300^\circ$
$60^\circ$ NO	Desde el N, girar $60^\circ$ hacia el O	$150^\circ$
$20^\circ$ SO	Desde el S, girar $20^\circ$ hacia el O	$200^\circ$

Pon a prueba tu conocimiento

1. Una persona camina en dirección $55^\circ$ NO. Si expresamos esta dirección como un ángulo polar medido desde el eje $x$ positivo, ¿cuál es el valor correcto?

   1. $55^\circ$

   2. $125^\circ$

   3. $145^\circ$

   4. $215^\circ$

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2. Un barco navega en dirección $40^\circ$ SE. ¿Cuál es el ángulo polar equivalente?

   1. $140^\circ$

   2. $220^\circ$

   3. $130^\circ$

   4. $310^\circ$

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Notación polar y cartesiana: un repaso

Recordemos que un vector $\vec{A}$ se puede expresar de dos formas equivalentes:

• Notación polar: se especifica la magnitud $A$ y la dirección $\theta$:

$$\vec{A} = (A; \, \theta)$$

• Notación cartesiana: se especifican las componentes $A_x$, $A_y$ (y $A_z$ en 3D):

$$\vec{A} = A_x \hat{\iota} + A_y \hat{\jmath} + A_z \hat{\kappa}$$

La conversión entre ambos sistemas se realiza con las fórmulas que ya conocemos:

De cartesiano a polar	De polar a cartesiano
$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$	$A_x = A \cos \theta$
$\theta = \arctan\left(\dfrac{A_y}{A_x}\right)$	$A_y = A \sin \theta$

En dos dimensiones, $\theta$ es el ángulo respecto al eje $x$ positivo. Hay que prestar atención al cuadrante: la calculadora devuelve valores entre $-90^\circ$ y $90^\circ$, así que si el vector está en el segundo o tercer cuadrante ($A_x < 0$), hay que sumar $180^\circ$ al resultado.

En el gráfico superior, observa los tres puntos. El punto $P$ está en el primer cuadrante, así que su ángulo polar es directo: $55^\circ$. El punto $Q$ está en el segundo cuadrante: su ángulo polar es $145^\circ$. Y el punto $R$ está en el tercer cuadrante, con un ángulo de $225^\circ$ (equivalente a $45^\circ$ SE).

Vectores en tres dimensiones

Hasta ahora hemos trabajado en un plano (2D), pero el mundo real tiene tres dimensiones espaciales. Para describir vectores en 3D añadimos un tercer eje, el eje $z$, perpendicular al plano $xy$. El vector unitario en esta dirección es $\hat{\kappa}$.

Un vector de posición en 3D se escribe:

$$\vec{r} = x \hat{\iota} + y \hat{\jmath} + z \hat{\kappa}$$

y su magnitud se calcula extendiendo el teorema de Pitágoras:

$$|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Ejemplo — magnitud de un vector en 3D

Un dron despega del origen y se desplaza hasta la posición $(3, -4, 12) \, \mathrm{m}$. ¿A qué distancia del punto de partida se encuentra?

$$|\vec{r}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \mathrm{m}$$

El dron está a $13 \, \mathrm{m}$ de su punto de partida.

Producto de un escalar por un vector

La operación más sencilla con vectores es multiplicarlos por un número (escalar). Si $a$ es un escalar y $\vec{A}$ es un vector, entonces:

$$a \vec{A} = a A_x \hat{\iota} + a A_y \hat{\jmath} + a A_z \hat{\kappa}$$

El escalar multiplica cada componente. Geométricamente, esto tiene dos efectos:

• Si $|a| > 1$: el vector se “estira” (su magnitud aumenta).
• Si $|a| < 1$: el vector se “encoge”.
• Si $a < 0$: el vector se invierte (apunta en sentido contrario).

La nueva magnitud es $|a \vec{A}| = |a| \cdot A$.

Ejemplo — la segunda ley de Newton

La fuerza neta sobre un cuerpo de masa $m = 10 \, \mathrm{kg}$ es:

$$\vec{F}_{\text{neta}} = (25 \, \mathrm{N}) \hat{\iota} - (75 \, \mathrm{N}) \hat{\jmath} + (100 \, \mathrm{N}) \hat{\kappa}$$

Por la segunda ley de Newton, $\vec{F}_{\text{neta}} = m \vec{a}$, la aceleración es:

$$\vec{a} = \frac{1}{m} \vec{F}_{\text{neta}} = \frac{1}{10 \, \mathrm{kg}} \left[ (25) \hat{\iota} - (75) \hat{\jmath} + (100) \hat{\kappa} \right] \mathrm{N}$$$$\vec{a} = (2,5 \, \mathrm{m/s^2}) \hat{\iota} - (7,5 \, \mathrm{m/s^2}) \hat{\jmath} + (10 \, \mathrm{m/s^2}) \hat{\kappa}$$

Aquí multiplicamos el vector fuerza por el escalar $1/m = 0,1 \, \mathrm{kg}^{-1}$, y cada componente se reduce a la décima parte.

Producto escalar (producto punto)

El producto escalar, también llamado producto punto, es una operación que toma dos vectores y produce un escalar (un número). Se denota con un punto entre los vectores: $\vec{A} \cdot \vec{B}$.

Definición por componentes

En notación cartesiana, el producto punto se calcula sumando los productos de las componentes correspondientes:

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$$

Es decir: componente $x$ por componente $x$, más componente $y$ por componente $y$, más componente $z$ por componente $z$.

Definición geométrica

Existe una forma alternativa, igualmente importante, que involucre el ángulo $\theta$ entre los dos vectores:

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = A B \cos \theta$$

donde $A = |\vec{A}|$ y $B = |\vec{B}|$ son las magnitudes, y $\theta$ es el ángulo entre ellos (medido de cola a cola, $0 \leq \theta \leq 180^\circ$).

Esta fórmula nos permite despejar el ángulo entre dos vectores cualesquiera:

$$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{A B}\right)$$

Propiedades del producto punto

• Conmutativo: $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$
• Distributivo: $\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$
• Ortogonalidad: Si $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ y ninguno es el vector nulo, entonces los vectores son perpendiculares ($\theta = 90^\circ$, pues $\cos 90^\circ = 0$).

Ejemplo — ángulo entre dos vectores

Considere los vectores:

$$\vec{A} = (2 \, \mathrm{m}) \hat{\iota} + (-5 \, \mathrm{m}) \hat{\jmath} - (1 \, \mathrm{m}) \hat{\kappa}$$$$\vec{B} = (6 \, \mathrm{m}) \hat{\iota} - (2 \, \mathrm{m}) \hat{\jmath} + (0 \, \mathrm{m}) \hat{\kappa}$$

Primero calculamos el producto punto:

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(6) + (-5)(-2) + (-1)(0) = 12 + 10 + 0 = 22 \, \mathrm{m}^2$$

Luego las magnitudes:

$$A = \displaystyle \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 25 + 1} = \sqrt{30} \approx 5,48 \, \mathrm{m}$$$$B = \displaystyle \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \approx 6,32 \, \mathrm{m}$$

Finalmente, el ángulo:

$$\theta = \arccos\left(\frac{22}{5,48 \times 6,32}\right) = \arccos\left(\frac{22}{34,63}\right) = \arccos(0,635) \approx 50,6^\circ$$

Aplicación física: el trabajo mecánico

El producto punto no es una curiosidad matemática; describe una de las cantidades físicas más importantes: el trabajo. Cuando una fuerza $\vec{F}$ actúa sobre un objeto que se desplaza una distancia $\vec{s}$, el trabajo realizado es:

$$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F s \cos \theta$$

donde $\theta$ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Note algo crucial: si la fuerza es perpendicular al desplazamiento ($\theta = 90^\circ$), el trabajo es cero. Por ejemplo, si cargas un libro horizontalmente, la fuerza de gravedad (vertical) no realiza trabajo sobre él.

Cosenos directores

El producto punto con los vectores unitarios nos permite hallar los ángulos que un vector forma con cada eje. Estos ángulos $\theta_x$, $\theta_y$, $\theta_z$ se llaman ángulos directores, y sus cosenos se conocen como cosenos directores:

$$\cos \theta_x = \frac{A_x}{A}, \qquad \cos \theta_y = \frac{A_y}{A}, \qquad \cos \theta_z = \frac{A_z}{A}$$

Una propiedad útil de los cosenos directores es:

$$\cos^2 \theta_x + \cos^2 \theta_y + \cos^2 \theta_z = 1$$

Producto vectorial (producto cruz)

Mientras que el producto punto produce un escalar, el producto vectorial o producto cruz produce un vector. Se denota con una equis: $\vec{A} \times \vec{B}$.

Definición por componentes

Para vectores en 3D:

$$\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y) \hat{\iota} + (A_z B_x - A_x B_z) \hat{\jmath} + (A_x B_y - A_y B_x) \hat{\kappa}$$

Una forma de recordar este patrón es mediante el determinante de una matriz:

$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{\iota} & \hat{\jmath} & \hat{\kappa} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$$

Definición geométrica

El resultado de $\vec{A} \times \vec{B}$ es un vector con las siguientes características:

1. Magnitud: es proporcional al seno del ángulo entre los vectores:

$$|\vec{A} \times \vec{B}| = A B \sin \theta$$

Geométricamente, esta magnitud equivale al área del paralelogramo que se forma con $\vec{A}$ y $\vec{B}$ como lados adyacentes.

2. Dirección: el vector resultante es perpendicular al plano que contiene a $\vec{A}$ y $\vec{B}$. La orientación (hacia arriba o hacia abajo) se determina con la regla de la mano derecha: si curvas los dedos de tu mano derecha desde $\vec{A}$ hacia $\vec{B}$, tu pulgar apunta en la dirección de $\vec{A} \times \vec{B}$.

Propiedades del producto cruz

• NO es conmutativo: $\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$ (el orden importa; cambia el sentido).
• Vectores paralelos: si $\vec{A}$ y $\vec{B}$ son paralelos ($\theta = 0^\circ$), entonces $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{0}$ (pues $\sin 0^\circ = 0$).
• Vectores perpendiculares: si $\theta = 90^\circ$, la magnitud es máxima: $|\vec{A} \times \vec{B}| = A B$.

Ejemplo — cálculo del producto cruz

Dados $\vec{A} = 3\hat{\iota} + 2\hat{\jmath} + \hat{\kappa}$ y $\vec{B} = \hat{\iota} - \hat{\jmath} + 2\hat{\kappa}$:

$$C_x = (A_y)(B_z) - (A_z)(B_y) = (2)(2) - (1)(-1) = 4 + 1 = 5$$$$C_y = (A_z)(B_x) - (A_x)(B_z) = (1)(1) - (3)(2) = 1 - 6 = -5$$$$C_z = (A_x)(B_y) - (A_y)(B_x) = (3)(-1) - (2)(1) = -3 - 2 = -5$$$$\vec{A} \times \vec{B} = 5\hat{\iota} - 5\hat{\jmath} - 5\hat{\kappa}$$

Podemos verificar que este vector es perpendicular tanto a $\vec{A}$ como a $\vec{B}$ calculando los productos punto (deben dar cero).

Aplicación física: el torque

El producto cruz describe otra cantidad física fundamental: el torque (o momento de fuerza). Cuando aplicas una fuerza $\vec{F}$ a una llave o una puerta, a una distancia $\vec{r}$ del eje de giro, el torque producido es:

$$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$$

Si el eje de giro se mantiene fijo (por ejemplo, el eje $z$), la magnitud del torque es:

$$\tau = r F \sin \theta = F r_{\perp}$$

donde $r_{\perp} = r \sin \theta$ se conoce como brazo de palanca: es la distancia perpendicular desde el eje de giro hasta la línea de acción de la fuerza.

Pon a prueba tu conocimiento

1. El producto punto de dos vectores perpendiculares es igual a:

   1. El producto de sus magnitudes

   2. Cero

   3. La unidad

   4. El área del paralelogramo que forman

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2. El producto cruz de dos vectores paralelos tiene magnitud:

   1. Máxima ($AB$)

   2. Cero

   3. Igual al producto punto

   4. Igual a $AB \cos\theta$

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3. ¿Cuál de las siguientes cantidades físicas se calcula con un producto punto?

   1. El torque

   2. El trabajo

   3. La fuerza neta

   4. La aceleración

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4. El vector resultante del producto cruz $\vec{A} \times \vec{B}$ es perpendicular a:

   1. Solo a $\vec{A}$

   2. Solo a $\vec{B}$

   3. Tanto a $\vec{A}$ como a $\vec{B}$

   4. Al eje $x$

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Resumen de operaciones vectoriales

Operación	Resultado	Fórmula (componentes)	Fórmula (geométrica)
Escalar × Vector	Vector	$a\vec{A} = (aA_x, \, aA_y, \, aA_z)$	Magnitud: $\|a\| \cdot A$
Suma / Resta	Vector	$\vec{A} \pm \vec{B} = (A_x \pm B_x, \, \ldots)$	Regla del paralelogramo
Producto punto	Escalar	$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$	$AB\cos\theta$
Producto cruz	Vector	Ver fórmula de componentes	Magnitud: $AB\sin\theta$

Estas cuatro operaciones son la base del cálculo vectorial que usaremos durante todo el curso. En las próximas semanas las aplicaremos al estudio del movimiento, las fuerzas, la energía y el momento angular. Domínalas ahora y te serán naturales más adelante.