Práctica

Ejercicio 1 — El bus del campus

Un bus de la ruta interna del campus viaja por una recta con velocidad constante. En $t = 0$ pasa por el punto $x = 0$ y en $t = 2,5 \, \mathrm{s}$ se encuentra en $x = 62,5 \, \mathrm{m}$.

1. Determina la velocidad del bus.
2. Escribe su ecuación de posición $x(t)$.
3. ¿En qué posición estará el bus en $t = 10 \, \mathrm{s}$? ¿En qué instante pasa por $x = 200 \, \mathrm{m}$?

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1. Velocidad del bus

Como la velocidad es constante (MRU), usamos la pendiente de la recta entre los dos puntos:

$$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{62,5 \, \mathrm{m} - 0}{2,5 \, \mathrm{s} - 0} = 25 \, \mathrm{m/s}$$

2. Ecuación de posición

La ecuación general del MRU es $x(t) = x_0 + v_x t$. Como $x_0 = 0$ y $v_x = 25 \, \mathrm{m/s}$:

$$x(t) = (25 \, \mathrm{m/s}) \, t$$

3. Posición en $t = 10 \, \mathrm{s}$ y tiempo para llegar a $x = 200 \, \mathrm{m}$

$$x(10) = (25 \, \mathrm{m/s})(10 \, \mathrm{s}) = 250 \, \mathrm{m}$$

Despejamos el tiempo de la ecuación de posición:

$$t = \frac{x}{v_x} = \frac{200 \, \mathrm{m}}{25 \, \mathrm{m/s}} = 8 \, \mathrm{s}$$

El bus estará en $250 \, \mathrm{m}$ a los $10 \, \mathrm{s}$ y pasa por $x = 200 \, \mathrm{m}$ en $t = 8 \, \mathrm{s}$.

Ejercicio 2 — El tren de vuelta a casa

Un tren se mueve con velocidad constante. En $t = 0$ se encuentra en $x = 100 \, \mathrm{m}$ y en $t = 4,0 \, \mathrm{s}$ está en $x = 20 \, \mathrm{m}$.

1. Determina su velocidad e interpreta su signo.
2. Escribe su ecuación de posición.
3. ¿En qué posición estará en $t = 10 \, \mathrm{s}$? ¿En qué instante pasa por $x = 0$?

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1. Velocidad del tren

$$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{20 \, \mathrm{m} - 100 \, \mathrm{m}}{4,0 \, \mathrm{s} - 0} = \frac{-80 \, \mathrm{m}}{4,0 \, \mathrm{s}} = -20 \, \mathrm{m/s}$$

El signo negativo indica que el tren se mueve en la dirección decreciente de $x$ (hacia atrás, en este sistema de referencia).

2. Ecuación de posición

Con $x_0 = 100 \, \mathrm{m}$ y $v_x = -20 \, \mathrm{m/s}$:

$$x(t) = (100 \, \mathrm{m}) - (20 \, \mathrm{m/s}) \, t$$

3. Posición en $t = 10 \, \mathrm{s}$ y cruce por $x = 0$

$$x(10) = 100 - 20(10) = -100 \, \mathrm{m}$$

El tren estará en $x = -100 \, \mathrm{m}$ a los $10 \, \mathrm{s}$ (ya habrá cruzado el origen y continuado hacia atrás). Pasa por $x = 0$ cuando:

$$0 = 100 - 20 t \quad \Rightarrow \quad t = 5 \, \mathrm{s}$$

El tren cruza el punto $x = 0$ en $t = 5 \, \mathrm{s}$.

Ejercicio 3 — Recuperando la ecuación desde la gráfica

Un objeto se mueve con aceleración constante. Su gráfica de $x$ vs $t$ es una parábola. En $t = 0$ la posición es $x = 50 \, \mathrm{m}$; en $t = 6 \, \mathrm{s}$ la posición es $x = -40 \, \mathrm{m}$ y en $t = 10 \, \mathrm{s}$ la posición es $x = 0$.

1. Determina la velocidad inicial $v_{0x}$ y la aceleración $a_x$.
2. Escribe las ecuaciones de posición $x(t)$ y de velocidad $v_x(t)$.
3. ¿En qué instante el objeto se detiene? ¿Qué posición tiene en ese momento?

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1. Velocidad inicial y aceleración

Usamos la ecuación de posición del MRUA $x(t) = x_0 + v_{0x} t + \tfrac{1}{2} a_x t^2$ con $x_0 = 50 \, \mathrm{m}$.

En $t = 6 \, \mathrm{s}$, con $x = -40 \, \mathrm{m}$:

$$-40 = 50 + v_{0x}(6) + \frac{1}{2} a_x (6)^2 \quad \Rightarrow \quad 6 v_{0x} + 18 a_x = -90$$

En $t = 10 \, \mathrm{s}$, con $x = 0$:

$$0 = 50 + v_{0x}(10) + \frac{1}{2} a_x (10)^2 \quad \Rightarrow \quad 10 v_{0x} + 50 a_x = -50$$

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones. De la primera: $v_{0x} + 3 a_x = -15$. De la segunda: $v_{0x} + 5 a_x = -5$. Restando:

$$2 a_x = 10 \quad \Rightarrow \quad a_x = 5 \, \mathrm{m/s^2} \qquad \text{y} \qquad v_{0x} = -30 \, \mathrm{m/s}$$

2. Ecuaciones de movimiento

$$x(t) = (50 \, \mathrm{m}) - (30 \, \mathrm{m/s}) t + \frac{1}{2}(5 \, \mathrm{m/s^2}) t^2$$$$v_x(t) = -(30 \, \mathrm{m/s}) + (5 \, \mathrm{m/s^2}) t$$

3. Instante en que se detiene

El objeto se detiene cuando $v_x = 0$:

$$0 = -30 + 5 t \quad \Rightarrow \quad t = 6 \, \mathrm{s}$$

En ese instante su posición es:

$$x(6) = 50 - 30(6) + 2,5(6)^2 = 50 - 180 + 90 = -40 \, \mathrm{m}$$

El objeto parte de $x = 50 \, \mathrm{m}$ moviéndose hacia atrás a $30 \, \mathrm{m/s}$, frena uniformemente y se detiene en $t = 6 \, \mathrm{s}$ en $x = -40 \, \mathrm{m}$ (el vértice de la parábola). A partir de ahí invierte el sentido y comienza a moverse hacia adelante.

Ejercicio 4 — El bus que frena en la parada

Un bus viaja a $54 \, \mathrm{km/h}$ (es decir, $15 \, \mathrm{m/s}$) cuando el conductor ve la parada y frena con aceleración constante. El bus se detiene en $6,0 \, \mathrm{s}$.

1. Determina la aceleración del bus durante el frenado.
2. ¿Qué distancia recorre mientras frena?
3. ¿Qué distancia recorre durante los primeros $3,0 \, \mathrm{s}$ del frenado?

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1. Aceleración

Usamos $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$. En el momento de detenerse, $v_x = 0$:

$$0 = 15 + a_x (6,0) \quad \Rightarrow \quad a_x = -2,5 \, \mathrm{m/s^2}$$

La aceleración es de $-2,5 \, \mathrm{m/s^2}$: negativa porque se opone al movimiento (frenado).

2. Distancia de frenado

Usamos la ecuación de posición:

$$x(6,0) = v_{0x} t + \frac{1}{2} a_x t^2 = 15(6,0) + \frac{1}{2}(-2,5)(6,0)^2 = 90 - 45 = 45 \, \mathrm{m}$$

El bus recorre $45 \, \mathrm{m}$ hasta detenerse.

3. Distancia en los primeros $3,0 \, \mathrm{s}$

$$x(3,0) = 15(3,0) + \frac{1}{2}(-2,5)(3,0)^2 = 45 - 11,25 = 33,75 \, \mathrm{m}$$

En los primeros $3,0 \, \mathrm{s}$ el bus recorre $33,75 \, \mathrm{m}$, mucho más que en los últimos $3,0 \, \mathrm{s}$ ($45 - 33,75 = 11,25 \, \mathrm{m}$). Esto refleja que, al frenar, la velocidad va disminuyendo: se avanza más rápido al principio.

Ejercicio 5 — El celular que se cae de la mano

Suelta tu celular desde una altura de $19,62 \, \mathrm{m}$ (¡imagina una torre de observación!) con velocidad inicial nula. Considera la caída libre con $g = 9,8 \, \mathrm{m/s^2}$.

1. ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?
2. ¿Con qué velocidad impacta el suelo?

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Tomamos el eje $y$ hacia arriba y el origen en el punto de lanzamiento, de modo que el suelo está en $y = -19,62 \, \mathrm{m}$ y la aceleración es $a_y = -g$.

1. Tiempo de caída

Partiendo del reposo ($v_{0y} = 0$), la ecuación de posición es:

$$y(t) = -\frac{1}{2} g t^2$$

El celular llega al suelo cuando $y = -19,62 \, \mathrm{m}$:

$$-19,62 = -\frac{1}{2}(9,81) t^2 \quad \Rightarrow \quad t^2 = \frac{2(19,62)}{9,81} = 4,0$$$$t = 2,0 \, \mathrm{s}$$

2. Velocidad de impacto

$$v_y = v_{0y} - g t = -(9,81)(2,0) = -19,62 \, \mathrm{m/s}$$

El celular tarda $2,0 \, \mathrm{s}$ en caer e impacta el suelo a $19,62 \, \mathrm{m/s}$ (el signo negativo indica que va hacia abajo). Fíjate que la caída libre no depende de la masa: cualquier objeto soltado desde esa altura tarda lo mismo.

Ejercicio 6 — La pelota que lanzas hacia arriba

Lanzas una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo ($y_0 = 0$) con una velocidad inicial de $12 \, \mathrm{m/s}$.

1. ¿Qué altura máxima alcanza la pelota?
2. ¿Cuánto tarda en llegar al punto más alto?
3. ¿Cuánto tarda en volver al suelo? ¿Con qué velocidad regresa?

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1. Altura máxima

La altura máxima respecto al punto de lanzamiento es:

$$h_{\text{máx}} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{(12 \, \mathrm{m/s})^2}{2(9,81 \, \mathrm{m/s^2})} = \frac{144}{19,62} \approx 7,34 \, \mathrm{m}$$

2. Tiempo hasta el punto más alto

En el punto más alto la velocidad es cero:

$$v_y = v_{0y} - g t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{12}{9,81} \approx 1,22 \, \mathrm{s}$$

3. Tiempo de vuelo y velocidad de regreso

Como la pelota sale y llega al mismo nivel ($y = 0$), la subida y la bajada son simétricas. El tiempo de vuelo total es el doble del tiempo de subida:

$$t_{\text{vuelo}} = 2 \times 1,22 \approx 2,45 \, \mathrm{s}$$

La velocidad con la que regresa al suelo tiene la misma magnitud que la inicial pero sentido opuesto:

$$v_y = v_{0y} - g t_{\text{vuelo}} = 12 - 9,81(2,45) \approx -12 \, \mathrm{m/s}$$

La pelota alcanza $7,34 \, \mathrm{m}$ de altura, tarda $1,22 \, \mathrm{s}$ en subir y $2,45 \, \mathrm{s}$ en total hasta volver al suelo, llegando con velocidad $-12 \, \mathrm{m/s}$.

Ejercicio 7 — La moto que alcanza al carro

En una avenida recta, un carro pasa frente a una moto detenida en un semáforo justo cuando este cambia a verde. El carro mantiene una velocidad constante de $20 \, \mathrm{m/s}$ y la moto arranca desde el reposo con aceleración constante de $4,0 \, \mathrm{m/s^2}$, en la misma dirección.

1. ¿Cuánto tiempo tarda la moto en alcanzar al carro?
2. ¿Qué distancia recorren ambos hasta ese instante?
3. ¿Qué velocidad lleva la moto en ese momento?

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Tomamos el origen en el semáforo ($x = 0$ cuando se pone verde).

Ecuaciones de movimiento:

El carro se mueve con MRU:

$$x_{\text{carro}}(t) = v_{\text{carro}} t = 20 t$$

La moto arranca del reposo con MRUA:

$$x_{\text{moto}}(t) = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2}(4,0) t^2 = 2,0 \, t^2$$

1. Instante en que la moto alcanza al carro

Igualamos las posiciones:

$$20 t = 2,0 \, t^2 \quad \Rightarrow \quad t(20 - 2,0 \, t) = 0$$

Las soluciones son $t = 0$ (cuando se ponen en verde) y:

$$t = \frac{20}{2,0} = 10 \, \mathrm{s}$$

La moto alcanza al carro en $t = 10 \, \mathrm{s}$.

2. Distancia recorrida hasta el encuentro

Evaluamos cualquiera de las dos posiciones en $t = 10 \, \mathrm{s}$:

$$x = 20(10) = 200 \, \mathrm{m}$$

Ambos han recorrido $200 \, \mathrm{m}$.

3. Velocidad de la moto en el encuentro

$$v_{\text{moto}} = a t = 4,0(10) = 40 \, \mathrm{m/s}$$

La moto lleva $40 \, \mathrm{m/s}$ (el doble de la velocidad del carro) en el instante en que lo alcanza. Esto es esperable: al arrancar desde reposo, su velocidad media hasta ese instante debe igualar la del carro, y como acelera uniformemente, su velocidad final es el doble de la media.